Cho hypebol (H) x^2/144 - y^2/25 = 1

Trang trước Trang sau

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Hypebol

Bài 1 trang 55 Chuyên đề Toán 10: Cho hypebol $(H) : \frac{x^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1$

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $(13; \frac{25}{12})$ trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) ∈ (H) sao cho NF₁ = 2NF₂ với F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H).

Quảng cáo

Lời giải:

a) Có a² = 144, b² = 25 $\Rightarrow$ a = 12, b = 5, $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = 13 .$

Tâm sau của (H) là e = $\frac{c}{a} = \frac{13}{12} .$

Độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M $(13; \frac{25}{12})$ là:

MF₁ = $| a + \frac{c}{a} x | = | 12 + \frac{13}{12} .13 | = \frac{313}{12};$ MF₂ = $| a - \frac{c}{a} x | = | 12 - \frac{13}{12} .13 | = \frac{25}{12} .$

b) Hai tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0) và F₂(13; 0).

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₁là

$∆_{1} : x + \frac{a}{e} = 0 \Leftrightarrow x + \frac{a^{2}}{c} = 0 \Leftrightarrow x + \frac{144}{13} = 0 .$

Phương trình đường chuẩn ứng với tiêu điểm F₂là

$∆_{1} : x - \frac{a}{e} = 0 \Leftrightarrow x - \frac{a^{2}}{c} = 0 \Leftrightarrow x - \frac{144}{13} = 0 .$

c) NF₁ = $| a + \frac{c}{a} x |;$ NF₂ = $| a - \frac{c}{a} x | .$

NF₁ = 2NF₂ $\Leftrightarrow | a + \frac{c}{a} x | = 2 | a - \frac{c}{a} x | \Leftrightarrow [\begin{matrix} a + \frac{c}{a} x = 2 (a - \frac{c}{a} x) \\ a + \frac{c}{a} x = 2 (\frac{c}{a} x - a) \end{matrix}$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} a = 3 \frac{c}{a} x \\ 3 a = \frac{c}{a} x \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{a^{2}}{3 c} = \frac{144}{3.13} = \frac{48}{13} \\ x = \frac{3 a^{2}}{c} = \frac{3.144}{13} = \frac{432}{13} \end{matrix} .$

+) x = $\frac{48}{13}$ loại vì 0 < x < a.

+) x = $\frac{432}{13}$ thì $\frac{{(\frac{432}{13})}^{2}}{144} - \frac{y^{2}}{25} = 1 \Rightarrow y^{2} = \frac{32400}{169} \Rightarrow [\begin{matrix} y = \frac{180}{13} y = - \frac{180}{13} \end{matrix} .$