Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 3: Phương pháp quy nạp toán học

Bài 2.7 trang 30 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh (n ≥ 4) là $\frac{n (n - 3)}{2} .$

Quảng cáo

Lời giải:

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n với n ≥ 4.

Bước 1. Với n = 4 ta có đa giác là tứ giác.

Số đường chéo của tứ giác là 2 = $\frac{4 (4 - 3)}{2}$ .

Như vậy khẳng định đúng cho trường hợp n = 4.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k (k ≥ 4), tức là ta có: Số đường chéo của một đa giác k cạnh (k ≥ 4) là $\frac{k (k - 3)}{2} .$

Ta sẽ chứng minh rằng khẳng định cũng đủng với n = k + 1, nghĩa là ta sẽ chứng minh: Số đường chéo của một đa giác (k + 1) cạnh (k ≥ 4) là $\frac{(k + 1) [(k + 1) - 3]}{2} .$

Thật vậy, xét đa giác (k + 1) cạnh A₁A₂...A_kA_{k + 1}, nối hai đỉnh A₁ và A_k ta được đa giác k cạnh A₁A₂...A_k. Theo giả thiết quy nạp đa giác k cạnh này có $\frac{k (k - 3)}{2}$ đường chéo.

Sử dụng phương pháp quy nạp toán học, chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác n cạnh

Các đường chéo còn lại của đa giác (k + 1) cạnh ngoài $\frac{k (k - 3)}{2}$ đường chéo này là các đoạn nối A_{k + 1} với các đỉnh từ A₂ đến A_{k – 1} và đoạn A₁A_k (màu đỏ). Tổng cộng có (k – 1) đường.

Vậy tổng số đường chéo của đa giác (k + 1) cạnh là:

$\frac{k (k - 3)}{2}$ + (k – 1) = $\frac{k (k - 3) + 2 (k - 1)}{2}$