Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1)

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 3

Bài 4 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:

a) e = $\frac{1}{2}$;

b) e = 1;

c) e = 2.

Lời giải:

a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\mathrm{\Delta })}=e$

$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=\frac{1}{2}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{1}{2}.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=\frac{{|x+y-1|}^2}{8}$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=\frac{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}{8}$

$\iff 8(1-2x+x^2+1-2y+y^2)=x^2+y^2+1+2xy-2x-2y$

$\iff 7x^2+7y^2-2xy-14x-14y+15=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $7x^2+7y^2-2xy-14x-14y+15=0.$

b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\mathrm{\Delta })}=e$

$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=1$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\frac{|x+y-1|}{\sqrt{2}}$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=\frac{{|x+y-1|}^2}{2}$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=\frac{x^2+y^2+1+2xy-2x-2y}{2}$

$\iff 2(1-2x+x^2+1-2y+y^2)=x^2+y^2+1+2xy-2x-2y$

$\iff x^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2+y^2-2xy-2x-2y+1=0.$

c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{MF}{d(M;\mathrm{\Delta })}=e$

$\iff \frac{\sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}}{\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}}=2$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=2.\frac{|x+y-1|}{\sqrt{1^2+1^2}}$

$\iff \sqrt{{(1-x)}^2+{(1-y)}^2}=\sqrt{2}.|x+y-1|$

$\iff {(1-x)}^2+{(1-y)}^2=2{|x+y-1|}^2$

$\iff (1-2x+x^2)+(1-2y+y^2)=2(x^2+y^2+1+2xy-2x-2y)$

$\iff x^2+y^2+4xy-2x-2y=0.$

Vậy phương trình của conic đã cho là $x^2+y^2+4xy-2x-2y=0.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau: ....

• Bài 2 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Cho elip $\left(E\right):\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$. ....

• Bài 3 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau ....

• Bài 5 trang 65 Chuyên đề Toán 10: Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm ....

• Bài 6 trang 65, 66 Chuyên đề Toán 10: Ta đã biết tính chất quang học của ba đường conic (xem phần đọc thêm Bạn có biết? ở trang 72, sách giáo khoa Toán 10, tập hai). Hypebol cũng có tính chất quang học tương tự như elip: Tia sáng hướng tới tiêu điểm F1 của hypebol (H) khi gặp một nhánh của (H) sẽ cho tia phản xạ đi qua F2 ....

• Bài 7 trang 66 Chuyên đề Toán 10: Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là $\frac{1}{6}$m ....

• Bài 8 trang 66 Chuyên đề Toán 10: Gương phản chiếu của một đèn chiếu có mặt cắt hình parabol (Hình 5). Chiều rộng giữa hai mép vành của gương là MN = 32 cm và chiều sâu của gương là OH = 24 cm. ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---