Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a

Giải sách bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.22 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính côsin góc giữa hai mặt phẳng sau:

a) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD);

b) Mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, BD.

Xét tam giác SAC có SA = SC nên tam giác SAC cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ AC.

Xét tam giác SBD có SD = SB nên tam giác SBD cân tại S mà SO là trung tuyến nên SO là đường cao hay SO $\perp$ BD.

Do đó SO $\perp$ (ABCD) nên SO $\perp$ AB.

Kẻ OH $\perp$ AB tại H mà SO $\perp$ AB. Khi đó AB $\perp$ (SOH). Suy ra AB $\perp$ SH.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng SH và HO mà (SH,HO)=$\widehat{SHO}$.

Xét tam giác ABC có OH là đường trung bình nên OH = $\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$ .

Xét tam giác SAH vuông tại H, có AH = $\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}$; SA = a.

Khi đó SH = $\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác SHO vuông tại O, có cos$\widehat{SHO}=\frac{OH}{SH}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) là $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Gọi K là trung điểm của SB.

Xét tam giác SAB đều có AK là trung tuyến nên AK đồng thời là đường cao.

Suy ra AK $\perp$ SB.

Xét tam giác SCB đều có CK là trung tuyến nên CK đồng thời là đường cao.

Suy ra CK $\perp$ SB.

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng góc giữa hai đường thẳng AK và CK.

Ta có AK, CK là đường cao của các tam giác đều cạnh a nên AK = CK = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có AC² = AB² + BC² = a² + a² = 2a² ⇒ AC = a$\sqrt{2}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACK, ta có:

cos$\widehat{AKC}=\frac{A{K}^2+C{K}^2-A{C}^2}{2.AK.CK}=-\frac{1}{3}$, suy ra cos(AK,CK) = -cos$\widehat{AKC}$ = $\frac{1}{3}$.

Vậy côsin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{1}{3}$ .

Lời giải SBT Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay khác:

• Bài 7.19 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài các cạnh bằng a. Gọi M là trung điểm của CD, kẻ AH vuông góc với BM tại H ....

• Bài 7.20 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có AC = BC, AD = BD. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng (CDM) $\perp$ (ABC) và (CDM) $\perp$ (ABD) ....

• Bài 7.21 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng a, góc BAD bằng 60°. Kẻ OH vuông góc với SC tại H ....

• Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a ....

• Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) và SA = a ....

• Bài 7.25 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy (ABCD) ....

• Bài 7.26 trang 35 SBT Toán 11 Tập 2: Một viên bi được thả lăn trên một mặt phẳng nằm nghiêng (so với mặt phẳng nằm ngang) ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

• SBT Toán 11 Bài 27: Thể tích

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---