Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 7 - Kết nối tri thức

Bài 7.55 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD.

a) Tính theo a thể tích khối chóp cụt AMN.A'B'D'.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và A'B.

Lời giải:

a) Ta có $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=S_{ABCD}=a^2$ mà ABCD và A'B'C'D' là hình vuông nên $S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=S_{ABD}$$=\frac{1}{2}{S}_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{C}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{a^2}{2}$ .

Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}=\frac{1}{2}$ .

Xét $△$AMN và $△$ABD có góc A chung và $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AD}$ nên $△$AMN đồng dạng với $△$ABD.

Suy ra $\frac{S_{AMN}}{S_{ABD}}={\left(\frac{AM}{AB}\right)}^2=\frac{1}{4}$$\Rightarrow S_{AMN}=\frac{1}{4}{S}_{ABD}=\frac{a^2}{8}$ .

(Ngoài cách trên, ta có thể tính được AM = AN = $\frac{a}{2}$ , suy ra $S_{AMN}=\frac{1}{2}$.AM.AN = $\frac{a^2}{8}$ )

Khi đó $V_{AMN.A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}\cdot A{A}^{\text{'}}\cdot \left(S_{AMN}+S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}+\sqrt{S_{AMN}\cdot S_{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}}\right)$

$=\frac{1}{3}\cdot a\cdot \left(\frac{a^2}{8}+\frac{a^2}{2}+\sqrt{\frac{a^2}{8}\cdot \frac{a^2}{2}}\right)=\frac{7a^3}{24}$.

b) Xét tam giác ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác ABD. Do đó MN // BD. Suy ra MN // (A'BD).

Do đó d(MN, A'B) = d(MN, (A'BD)) = d(M, (A'BD)).

Vì M là trung điểm của AB nên d(M,(A'BD)) = $\frac{1}{2}$d(A,(A'BD)).

Đặt h = d(A, (A'BD)).

Áp dụng kết quả bài 7.7 trang 28 SBT Toán 11 tập 2, ta có:

$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{A{B}^2}+\frac{1}{A{D}^2}+\frac{1}{A{A^{\text{'}}}^2}$$=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}$$\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Vậy d(MN,A'B) = $\frac{1}{2}h=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.$

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 7 hay khác:

• Bài 7.41 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b song song với mặt phẳng (P) ....

• Bài 7.42 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P), đường thẳng b vuông góc với đường thẳng a ....

• Bài 7.43 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD, góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng ....

• Bài 7.44 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa đường thẳng AB và mặt phẳng (BCD) bằng ....

• Bài 7.45 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) bằng ....

• Bài 7.46 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD ....

• Bài 7.47 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a, gọi O là giao điểm của AC và BD. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng ....

• Bài 7.48 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB' bằng ....

• Bài 7.49 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Thể tích khối tứ diện ABC'D' bằng ....

• Bài 7.50 trang 42 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', gọi M là trung điểm của AA'. Tỉ số của thể tích khối chóp M.ABCD và khối hộp ABCD.A'B'C'D' bằng ....

• Bài 7.51 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và SC = a$\sqrt{2}$ . Gọi H là trung điểm của cạnh AB ....

• Bài 7.52 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA $\perp$ (ABCD), biết ABCD là hình vuông cạnh bằng a và SA = a$\sqrt{2}$ ....

• Bài 7.53 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, cạnh bên SA = $\frac{a\sqrt{5}}{2}$ . Gọi SM, SN lần lượt là đường cao của tam giác SAD và tam giác SBC ....

• Bài 7.54 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $\widehat{BAC}=60°$ , AB = 2a, AC = 3a và số đo của góc nhị diện [A', BC, A] bằng 45° ....

• Bài 7.56 trang 43 SBT Toán 11 Tập 2: Một bể chứa nước hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' được đặt trên một mái nhà nghiêng so với mặt đất nằm ngang góc 10°, AB = 1 m, AD = 1,5 m, AA' = 1 m ....

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 11 Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• SBT Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 8

• SBT Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Săn SALE shopee Tết:

• Mỹ phẩm SACE LADY giảm tới 200k
• SRM Simple tặng tẩy trang 50k
• Combo Dầu Gội, Dầu Xả TRESEMME 80k

---