Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện - Kết nối tri thức

Bài 6.6 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”;

B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”.

Chứng minh rằng:

a) Hai biến cố A và B độc lập;

b) Hai biến cố B và C độc lập.

c) Hai biến cố A và C độc lập.

Lời giải:

a) Ta có:

Các phần tử của biến cố A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất” là:

A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6)};

Các phần tử của biến cố B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

B = {(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 2); (5; 2); (6; 2)}.

Có A ∩ B = {(1; 2)}.

Do đó, P(A) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ; P(B) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ; P(AB) = $\frac{1}{36}$ .

Nhận thấy $\frac{1}{36}$  = $\frac{1}{6}.\frac{1}{6}$  hay P(AB) = P(A).P(B).

Ta có: P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(A);

           P(B | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(B).

Vậy P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B).

Vậy hai biến cố A và B độc lập.

b) Các phần tử của biến cố C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7” là:

C = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)};

Có B ∩ C = {(5; 2)}.

Ta có: P(C) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ , P(BC) = $\frac{1}{36}$ .

Suy ra P(BC) = P(C).P(B).

Nhận thấy: P(B | C) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(B);

                   P(C | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(C).

Vậy P(B | C) = P(B), P(C | A) = P(C).

Vậy hai biến cố C và B độc lập.

c) Ta có: A ∩ C = {(1; 6)} nên P(AC) = $\frac{1}{6}$ .

Ta có: P(AC) = P(C).P(A).

Tương tự ý a, b ta suy ra A và C là hai biến cố độc lập.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện hay khác:

• Bài 6.1 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Cho P(A) = $\frac{2}{5}$ ; P(B) = $\frac{1}{3}$ ; P(A ∪ B) = $\frac{1}{2}$ . Tính P(A | B) và P(B | A) ....

• Bài 6.2 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Một túi đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên xanh. Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Tùng ....

• Bài 6.3 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp chứa 20 tấm thẻ đánh số {1; 2;…; 20}. Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ ....

• Bài 6.4 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp chứa 17 viên bi đỏ, 13 viên bi xanh. An lấy ngẫu nhiên một viên bi ....

• Bài 6.5 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A và B với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng minh rằng nếu P(AB) = P(A).P(B) thì A và B độc lập ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• SBT Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 6

• SBT Toán 12 Bài tập ôn tập cuối năm

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---