Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90°), các đường cao BD và CE cắt nhau tại H

Giải SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC cân tại A $\left(\hat{A}<90°\right)$, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Tia phân giác của góc ABD cắt EC và AC lần lượt tại M và P. Tia phân giác của góc ACE cắt DB và AB lần lượt tại Q và N. Chứng minh rằng:

a) $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$;

b) BH = CH;

c) Tam giác BOC vuông cân;

d) MNPQ là hình vuông.

Lời giải:

Chú ý: Câu c bổ sung dữ kiện “O là giao điểm của BP và CN”.

a) Ta có:

∆ABD vuông tại D (do BD là đường cao ∆ABC), suy ra $\widehat{ABD}+\widehat{BAC}=90°$;

∆AEC vuông tại E (do CE là đường cao ∆ABC), suy ra $\widehat{ACE}+\widehat{BAC}=90°$.

Do đó $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

b) ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (theo câu a).

Suy ra $\widehat{ABC}-\widehat{ABD}=\widehat{ACB}-\widehat{ACE}$ hay $\widehat{B_3}=\widehat{C_3}$.

Do đó ∆HBC cân tại H nên BH = CH.

c) Ta có $\widehat{B_2}=\frac{1}{2}\widehat{ABD}$ (do BP là tia phân giác $\widehat{ABD}$) và $\widehat{C_2}=\frac{1}{2}\widehat{ACE}$ (do CN là tia phân giác $\widehat{ACE}$)

Mà $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$, suy ra $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$.

∆OBC có $\widehat{B_3}=\widehat{C_3}$, $\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$ nên $\widehat{B_3}+\widehat{B_2}=\widehat{C_3}+\widehat{C_2}$ hay $\widehat{OBC}=\widehat{OCB}$.

Suy ra ∆OBC cân tại O (1)

Mặt khác, vì $\widehat{C_2}=\widehat{B_1}$ (cùng bằng $\widehat{B_2}$) nên ta có

$\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{B_1}+\widehat{C_3}$

$=\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=180°-\widehat{BEC}=180°-90°=90°$.

Mà $\widehat{OBC}+\widehat{OCB}=\widehat{B_2}+\widehat{B_3}+\widehat{C_2}+\widehat{C_3}=90°$

Suy ra $\widehat{BOC}=180°-\left(\widehat{OBC}+\widehat{OCB}\right)=180°-90°=90°$.

Do đó tam giác OBC vuông tại O (2)

Từ (1) và (2) suy ra ∆OBC vuông cân tại O.

d) ∆OBC cân tại O nên OB = OC. (3)

Xét ∆BMH và ∆CQH có:

$\widehat{B_2}=\widehat{C_2}$ (theo câu b);

BH = CH (do ∆HBC cân tại H);

$\widehat{BHM}=\widehat{CHQ}$ (hai góc đối đỉnh).

Do đó ∆BMH= ∆CQH (g.c.g).

Suy ra BM = CQ. (4)

Từ (3) và (4) suy ra OB ‒ BM = OC ‒ CQ hay OM = OQ. (5)

Mà ∆BNQ có BO là đường cao cũng đường phân giác nên ∆BNQ cân tại B.

Suy ra BO cũng là đường trung tuyến, nên O là trung điểm của QN hay ON = OQ.(6)

Chứng minh tương tự, ta được OP = OM. (7)

Từ (5), (6), (7) suy ra OM = ON = OQ = OP.

Khi đó ON + OQ = OM + OP hay NQ = MP.

Xét tứ giác MNPQ có: OM = OP và OQ = ON nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Mà NQ = MP nên MNPQ là hình chữ nhật.

Ta lại có MP ⊥ NP tại O nên MNPQ là hình vuông.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật – Hình vuông hay khác:

• Bài 1 trang 71 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC ...

• Bài 2 trang 71 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác DEF vuông tại D (DE > DF), DM là đường trung tuyến (M ∈ EF). Gọi MN là đường vuông góc kẻ từ M đến DE (N ∈ DE) ...

• Bài 3 trang 71 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 4 cm, AC = 8 cm. Gọi E là trung điểm của AC, M là trung điểm của BC ...

• Bài 5 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Lấy các điểm E, F, G, H theo thứ tự thuộc các cạnh AB, BC, CD, DA, sao cho AE = BF = CG = DH = a, BE = CF = DG = AH = b ...

• Bài 6 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Trong hình chữ nhật có chu vi 100 m, hình nào có diện tích lớn nhất? Tính diện tích đó ...

• Bài 7 trang 72 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Hình chữ nhật ABCD được chia thành bốn hình chữ nhật nhỏ như Hình 10. Biết diện tích ba hình chữ nhật nhỏ lần lượt là 10 cm² , 15 cm², 6 cm² ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 3

• SBT Toán 8 Bài 1: Thu thập và phân loại dữ liệu

• SBT Toán 8 Bài 2: Lựa chọn dạng biểu đồ để biểu diễn dữ liệu

• SBT Toán 8 Bài 3: Phân tích dữ liệu

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 4

Săn SALE shopee tháng 12-6:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---