Bài 5.43 trang 62 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức

Bài 5.43 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng $d : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{2}$ , $d^{'} : \frac{x + 1}{2} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{- 1}$

Quảng cáo

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 0) và có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; 2; 2)$

Đường thẳng d' đi qua điển N(−1; −2; 3) và có một vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (2; 2; - 1)$

Có $\vec{M N} = (- 1; - 3; 3)$ , $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (- 6; 5; - 2) \neq \vec{0}$

Có $\vec{M N} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 6 - 15 - 6 = - 15 \neq 0$

Suy ra d và d' chéo nhau.

b) Vì ∆ // d nên đường thẳng ∆ nhận $\vec{u_{1}} = (1; 2; 2)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 0; 2) và nhận $\vec{u_{1}} = (1; 2; 2)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là $\{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 2 + 2 t \end{cases}$

c) Có $\vec{A M} = (- 1; 1; - 2)$ , $[\vec{A M}, \vec{u_{1}}] = (6; 0; - 3)$

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 2) và nhận $\vec{n} = \frac{1}{3} [\vec{A M}, \vec{u_{1}}] = (2; 0; - 1)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) – (z – 2) = 0 hay 2x – z = 0.

d) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là: y = 0.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là nghiệm của hệ:

$\{\begin{cases} \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{2} \\ y = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} x = - \frac{1}{2} \\ y = 0 \\ z = - 1 \end{cases}$