Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu trong thực tiễn - Cánh diều

Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Trong một phản ứng hoá học, lượng khí CO₂ thoát ra V(t) được tính theo thời gian t bằng công thức:

Quảng cáo

$V (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (e^{- k_{2} t} - e^{- k_{1} t}),$

trong đó V(t) được tính theo đơn vị mililít và t được tính theo đơn vị giây; k₁, k₂ là các hằng số sao cho k₁ > k₂ > 0 (Nguồn: John W. Cell, Engineering Problems Illustrating Mathematics, McGraw-Hill Book Company, Inc. New York and London, 1943).

Lượng khí CO₂thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

Lời giải:

Xét hàm số $V (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (e^{- k_{2} t} - e^{- k_{1} t}),$ với k₁ > k₂ > 0 và t ∈ (0; +∞).

Ta có $V^{'} (t) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (- k_{2} e^{- k_{2} t} + k_{1} e^{- k_{1} t}) .$

Do đó $V^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} (- k_{2} e^{- k_{2} t} + k_{1} e^{- k_{1} t}) = 0 \Leftrightarrow k_{2} e^{- k_{2} t} = k_{1} e^{- k_{1} t}$

$\Leftrightarrow e^{(k_{2} - k_{1}) t} = \frac{k_{2}}{k_{1}} \Leftrightarrow (k_{2} - k_{1}) t = \ln (\frac{k_{2}}{k_{1}}) \Leftrightarrow t = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Đặt $t_{0} = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Bảng biến thiên của hàm số:

Bài 7 trang 37 Chuyên đề Toán 12 Cánh diều

Căn cứ bảng biến thiên, ta có $\max_{(0; + \infty)} V (t) = V (t_{0}) = \frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} [{(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{- \frac{k_{2}}{k_{2} - k_{1}}} - {(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{- \frac{k_{1}}{k_{2} - k_{1}}}]$ tại $t = t_{0} = \frac{\ln (\frac{k_{2}}{k_{1}})}{k_{2} - k_{1}} .$

Vậy lượng khí CO₂thoát ra trong phản ứng đó có giá trị lớn nhất là $\frac{0, 2 k_{1}}{k_{1} - k_{2}} [{(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{- \frac{k_{2}}{k_{2} - k_{1}}} - {(\frac{k_{2}}{k_{1}})}^{- \frac{k_{1}}{k_{2} - k_{1}}}]$ (mililít).