(Ôn thi ĐGNL, ĐGTD) Chuyên đề: Giải tích

Giới hạn. Hàm số liên tục

Một số lưu ý và ví dụ

Giới hạn của dãy số. Phép toán giới hạn dãy số. Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

• Xác định giới hạn của một số dãy số quen thuộc.

Ví dụ: $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^k}\left(k\in \mathbb{N}*\right);\underset{n\to \infty }{\lim }{q}^n=0\left(\left|q\right|<1\right),v.v\mathrm{..}$

• Vận dụng các quy tắc để tìm giới hạn của dãy số.

Ví dụ: $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{n+\sqrt{n^2+1}}{2n+1};\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2^n+3^n}{3^n-5^n},v.v\mathrm{..}$

• Vận dụng kết quả về tổng cấp số nhân lùi vô hạn vào trong một số tình huống thực tiễn.

Ví dụ: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số.

Giới hạn của hàm số. Phép toán giới hạn hàm số

• Xác định giới hạn tại một điểm, tại vô cực và giới hạn một phía của các hàm số.

Ví dụ: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x^k};\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x^k};$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^k};\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^k}\left(k\in \mathbb{N}*\right),v.v\mathrm{..}$

• Vận dụng các quy tắc để tìm giới hạn của hàm số.

Ví dụ: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x-\sqrt{x^2+1}\right);\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2-3x+2}{x-2},v.v\mathrm{..}$

• Giải quyết một số vấn đề thực tiễn gắn với giới hạn hàm số.

Ví dụ: Tính “điểm bão hòa”, v.v..

Hàm số liên tục

• Nhận dạng hàm số liên tục tại một điểm, hoặc trên một khoảng, hoặc trên một đoạn.

• Áp dụng các công thức, vận dụng để xét tính liên tục của hàm số là kết quả của các phép toán sơ cấp giữa các hàm số quen thuộc.

Ví dụ: $y=x+\sqrt{x-1};y=\sin x-\cos x;$$y=\frac{x^2}{2x-3};v.v\mathrm{..}$

• Phân tích và tổng hợp các tình huống xảy ra về tính liên tục của hàm số trong một số tình huống cụ thể.

Ví dụ: Xác định các tham số phù hợp để hàm số liên tục tại một điểm, v.v..

Đạo hàm

Một số lưu ý và ví dụ

Khái niệm đạo hàm. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

• Nhận biết được khái niệm vận tốc tức thời.

• Tính được đạo hàm của hàm số tại một điểm bằng định nghĩa.

Ví dụ: Tính f'(3) với f(x) = x².

• Nhận biết ý nghĩa hình học của đạo hàm.

• Thiết lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm; phương trình tiếp tuyến của đồ thị thỏa mãn một số điều kiện cho trước.

Ví dụ: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị y = x² song song với đường thẳng y = x, v.v..

Các quy tắc tính đạo hàm

• Tính đạo hàm của một số hàm thông dụng (như hàm đa thức, căn thức, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số lôgarit).

• Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số và đạo hàm của hàm hợp.

Ví dụ: ${\left(U^2\right)}^{\text{'}};{\left(\frac{1}{U}\right)}^{\text{'}};{\left(\sqrt{U}\right)}^{\text{'}};{\left(U\cdot V\right)}^{\text{'}};{\left(\frac{U}{V}\right)}^{\text{'}};v.v\mathrm{..}$

• Giải quyết một số vấn đề liên môn hoặc vấn đề gắn với thực tiễn.

Ví dụ: Xác định vận tốc tức thời của chuyển động, biên lợi nhuận, v.v..

Đạo hàm cấp hai

• Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm thông dụng (như hàm đa thức, hàm lũy thừa, hàm số lượng giác, hàm số mũ, hàm số lôgarit).

• Giải quyết một số vấn đề có liên quan đến môn học khác hoặc bài toán có yếu tố thực tiễn.

Ví dụ: Xác định gia tốc của chuyển động, v.v..

Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

Một số lưu ý và ví dụ

Tính đơn điệu của hàm số

• Nhận biết tính đơn điệu, cực trị của hàm số dựa vào việc xác định dấu của đạo hàm.

• Xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến, các điểm cực trị của các hàm số thông dụng và thể hiện được các tính chất này trên bảng biến thiên.

• Thiết lập các điều kiện cần thiết để hàm số đơn điệu trên khoảng cho trước.

Ví dụ: $y=\frac{ax+b}{cx+d}$ đồng biến trên từng khoảng xác định; v.v..

• Thông qua lập luận để phát hiện các tính chất đặc biệt của cực trị hàm số.

Ví dụ: Nếu F'(x) liên tục thì các điểm cực trị là nghiệm của F'(x); v.v..

Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

• Thông qua bảng biến thiên, đồ thị hàm số, xác định các giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định cho trước.

• Vận dụng các tính chất về sự đơn điệu của hàm số để tìm các cụ the. giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số

$y=x^2-2x,x\in [0;2];v.v\mathrm{..}$

Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

• Nhận biết các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Ví dụ: $y=\frac{ax+b}{cx+d};y=\frac{a{x}^2+bx+c}{mx+n};v.v\mathrm{..}$

• Kết hợp các tính chất của hàm số để phác họa đồ thị của các hàm số quen thuộc.

Ví dụ: y = ax³ + bx² + cx + d.

• Vận dụng và phát hiện các tính chất đặc biệt của đồ thị, tính tương giao giữa các đồ thị hàm số quen thuộc.

Ví dụ: Tích các khoảng cách giữa một điểm trên đồ thị tới hai tiệm cận là không đổi.

Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

• Vận dụng các tính chất của hàm số và đồ thị hàm số để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn.

Ví dụ: Cực đại hóa lợi nhuận, cực tiểu hóa chi phí, v.v..

Nguyên hàm.

Tích phân

Một số lưu ý và ví dụ

Nguyên hàm. Bảng nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• Xác định nguyên hàm của các hàm số sơ cấp.

• Vận dụng các tính chất của nguyên hàm để tìm nguyên hàm các hàm thường gặp.

Tích phân. Ứng dụng hình học của tích phân

• Tính tích phân các hàm số sơ cấp.

• Vận dụng các tính chất của tích phân để tính tích phân các hàm thường gặp.

• Thông qua công cụ tích phân, tính diện tích hình phẳng và thể tích của một số khối vật thể.

• Vận dụng tích phân để giải quyết một số bài toán có liên quan đến thực tiễn.

Ví dụ: Tính quãng đường khi biết vận tốc của chuyển động; v.v..

Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Một số lưu ý và ví dụ

Phép tính lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỷ, số mũ thực. Các tính chất

• Xác định được điều kiện xác định của biểu thức có chứa lũy thừa; biết cách biểu diễn căn thức dưới dạng lũy thừa hữu tỷ của một số.

• Vận dụng các tính chất của phép tính lũy thừa để giải quyết các bài toán có gắn với thực tiễn (ví dụ: bài toán lãi suất, sự tăng trưởng dân số, v.v.).

Phép tính lôgarit. Các tính chất

• Áp dụng được các công thức lôgarit trong các bài toán tính toán, rút gọn biểu thức.

• Giải quyết một số bài toán gắn với thực tiễn

Ví dụ: Độ pH, cường độ âm, rung chấn, v.v..

Hàm số mũ.

Hàm số lôgarit

• Xác định tập xác định và tập giá trị của hàm số mũ và hàm số lôgarit.

• Nhận dạng đồ thị của các hàm số mũ, hàm số lôgarit.

• Giải quyết một số bài toán liên môn, các bài toán gắn với thực tiễn.

Ví dụ: Xét tính tăng giảm; tìm tiệm cận; xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; v.v..

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

• Nhận biết nghiệm của phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.

• Một số phương trình, bất phương trình mũ, lôgarit thường gặp.

Ví dụ: $2^x=8;{\left(0,5\right)}^{2x}>4;{\log }_{3}x=-1;{\log }_{1/3}x<2;v.v\mathrm{..}$

• Vận dụng được các tính chất của hàm mũ, lôgarit để giải quyết các bài toán liên môn, gắn với thực tiễn.

Ví dụ: Tìm tỷ lệ pha dung dịch để thu được dung dịch có độ pH mong muốn, xác định mức cường độ âm trong một khoảng xác định; v.v..

STT

Phát biểu

Đúng

Sai

1

K_M là nghiệm của phương trình v(x) = V_max.

2

Đồ thị hàm số y = v(x) có đường tiệm cận ngang là y = V_max.

STT

Phát biểu

Đúng

Sai

1

R(0) = 0.

2

$\underset{1\to +\infty }{\lim R\left(I\right)}=0.$

3

Khi a = 1, b = 4 thì tốc độ quang hợp lớn nhất bằng 1.