Chứng minh rằng căn bậc hai của 2 là số vô tỉ

Giải sách bài tập Toán 7 Bài 1: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

Bài 11 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Chứng minh rằng $\sqrt{2}$ là số vô tỉ.

Lời giải:

Giả sử $\sqrt{2}$ là số hữu tỉ.

Như vậy, $\sqrt{2}$ có thể viết được dưới dạng $\frac{m}{n}$ với m, n ∈ ℕ và (m, n) = 1.

Ta có $\sqrt{2}=\frac{m}{n}$ nên ${\left(\sqrt{2}\right)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2$ hay $2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2$.

Suy ra m² = 2n².

Mà (m, n) = 1 nên m² chia hết cho 2 hay m chia hết cho 2.

Do đó m = 2k với k ∈ ℕ và (k, n) = 1.

Thay m = 2k vào m² = 2n² ta được 4k² = 2n² hay n² = 2k².

Do (k, n) = 1 nên n² chia hết cho 2 hay n chia hết cho 2.

Suy ra m và n đều chia hết cho 2 mâu thuẫn với (m, n) = 1.

Vậy $\sqrt{2}$ không là số hữu tỉ mà là số vô tỉ.

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 7 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 38 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: a) Đọc các số sau: $\sqrt{5};\sqrt{\mathrm{1,96}};\sqrt{\frac{1}{225}}$ ....

• Bài 2 trang 38 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Trong các cách viết sau, cách viết nào đúng? Vì sao? ....

• Bài 3 trang 38 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Trong các phát biểu sau, phát biểu nào đúng, phát biểu nào sai? Vì sao? ....

• Bài 4 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Chọn từ "vô tỉ", "hữu tỉ", "hữu hạn", "vô hạn không tuần hoàn" thích hợp cho? ....

• Bài 5 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Trong các tập hợp sau, tập hợp nào có tất cả các phần tử đều là số vô tỉ? ....

• Bài 6 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Tìm số thích hợp cho?....

• Bài 7 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Tính: a) $\sqrt{1+3+5}$ ....

• Bài 8 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Tính giá trị của biểu thức: a) $7.\sqrt{\mathrm{0,36}}-5.\sqrt{25}$ ....

• Bài 9 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Sắp xếp các số sau theo thứ tự tăng dần: $\sqrt{\frac{1}{16}};4\frac{1}{7};\mathrm{1,}\left(3\right);\sqrt{81};-\sqrt{25};-\mathrm{12,1}$ ....

• Bài 10 trang 39 sách bài tập Toán lớp 7 Tập 1: Tìm x, biết: a) $x+2.\sqrt{16}=-3.\sqrt{49}$....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Cánh diều
• Giải SBT Toán 7 Cánh diều
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---