Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau

Giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông - Cánh diều

Bài 32 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình chữ nhật ABCD có hai cạnh kề không bằng nhau. Tia phân giác của các góc A và B cắt nhau tại E. Tia phân giác của các góc C và D cắt nhau tại F. Gọi G là giao điểm của AE và DF, H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh:

a) GH // CD;

b) Tứ giác GFHE là hình vuông.

Lời giải:

a) Do ABCD là hình chữ nhật nên $\widehat{DAB}=\widehat{ABC}=\widehat{BCD}=\widehat{CDA}=90°$

Mà AE, BE, CF, DF lần lượt là các tia phân giác của các $\widehat{BAD},\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{ADC}$

Suy ra $\widehat{BAD},\widehat{ABC},\widehat{BCD},\widehat{ADC}\widehat{DAE}=\widehat{EAB}=\widehat{ABE}=\widehat{EBC}=\widehat{BCF}=\widehat{FCD}=\widehat{CDF}=\widehat{FDA}=\frac{90°}{2}=45°\text{. }$

Xét ∆ADG có: $\widehat{ADG}+\widehat{AGD}+\widehat{GAD}=180°$

Suy ra $\widehat{AGD}=180°-\left(\widehat{ADG}+\widehat{GAD}\right)=180°-\left(45°+45°\right)=90°$

Do đó ∆ADG vuông cân tại G

Chứng minh tương tự các tam giác EAB, FCD, HBC đều là tam giác vuông cân.

Xét ∆GAD và ∆HBC có:

$\widehat{GAD}=\widehat{GDA}=\widehat{HBC}=\widehat{HCB}=45°$, cạnh AD = BC (do ABCD là hình chữ nhật)

Do đó ∆GAD = ∆HBC (g.c.g).

Suy ra GD = HC (hai cạnh tương ứng).

Mà FD = FC, suy ra FG = FH.

∆GFH có: $\widehat{GFH}=90°$ và FG = FH

Do đó, tam giác FGH vuông cân tại F. Suy ra $\widehat{FGH}=45°$.

Ta có: $\widehat{FGH}=\widehat{CDF}=45°$ và $\widehat{FGH},\widehat{CDF}$ nằm ở vị trí đồng vị nên GH // CD.

b) Ta có $\widehat{EGF}=\widehat{AGD}=90°$ (hai góc đối đỉnh).

Tứ giác GFHE có $\widehat{EGF}=\widehat{GFH}=\widehat{HEG}=90°$ nên GFHE là hình chữ nhật.

Hình chữ nhật GFHE có FG = FH nên GFHE là hình vuông.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông hay khác:

• Bài 31 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O ....

• Bài 33 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các hình vuông ABEF ....

• Bài 34 trang 102 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G ....

• Bài 35 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD có AB = 12 cm. Trên cạnh CD lấy điểm E sao cho DE = 5 cm ....

• Bài 36 trang 103 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E thuộc cạnh CD và điểm F thuộc tia đối ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

• SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành

• SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật

• SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5

Săn SALE shopee tháng 12-6:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---