Điều kiện đạo hàm tại 1 điểm, trên 1 khoảng lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện đạo hàm tại 1 điểm, trên 1 khoảng lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện đạo hàm.

Điều kiện đạo hàm tại 1 điểm, trên 1 khoảng lớp 11 (chi tiết nhất)

(199k) Xem Khóa học Toán 11

1. Điều kiện đạo hàm

1.1. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x₀ ∈ (a; b).

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu bởi f’(x₀) (hoặc y’(x₀)), tức là

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}.$

1.2. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là y’ = f’(x).

2. Ví dụ minh họa về điều kiện đạo hàm

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x² + 2x tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(x) – f(1) = x² + 2x – 3 = x² – 1 + 2x – 2 = (x – 1)(x + 3).

Với x ≠ 1, $\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=x+3.$

Tính giới hạn: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+3\right)=4.$

Vậy f’(1) = 4.

Trong thực hành, ta thường trình bày ngắn gọn như sau:

$f^{\text{'}}\left(1\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x^2+2x\right)-3}{x-1}$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+3\right)=4.$

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của hàm số y = cx², với c là hằng số.

Hướng dẫn giải

Với x₀ bất kì, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{c{x}^2-c{x}_0^2}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{c\left(x-x_0\right)\left(x+x_0\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }c\left(x+x_0\right)=c\left(x_0+x_0\right)=2c{x}_0.$

Vậy hàm số y = cx² (với c là hằng số) có đạo hàm là hàm số y’ = 2cx.

3. Bài tập về điều kiện đạo hàm

Bài 1. a) Tính đạo hàm của hàm số y = –x² + 2x + 1 tại điểm x₀ = –1.

b) Cho hàm số f(x) = x². Tính f’(x₀) với x₀ ∈ ℝ.

Bài 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = x² + 1.

b) f(x) = x³.

c) $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$ với x ≠ 0.

Bài 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = C (C là hằng số).

b) f(x) = kx + c (với k, c là các hằng số).

(199k) Xem Khóa học Toán 11

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Điều kiện hàm logarit

• Điều kiện hàm số mũ

• Định nghĩa trục đối xứng là gì

• Đồng phẳng là gì

• Hàm số gián đoạn là gì

---