Chuyên đề Phân thức đại số lớp 8 (Chuyên đề dạy thêm Toán 8)
Tài liệu chuyên đề Phân thức đại số Toán lớp 8 gồm các dạng bài tập từ cơ bản đến nâng cao với phương pháp giải chi tiết và bài tập tự luyện đa dạng giúp Giáo viên có thêm tài liệu giảng dạy Toán 8.
Chuyên đề Phân thức đại số lớp 8 (Chuyên đề dạy thêm Toán 8)
Chỉ từ 500k mua trọn bộ (Chuyên đề) Phương pháp giải Toán 8 (cơ bản, nâng cao) bản word có lời giải chi tiết:
- B1: gửi phí vào tk:
0711000255837- NGUYEN THANH TUYEN - Ngân hàng Vietcombank (QR) - B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận giáo án
Chủ đề 21: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ
Dạng 1: HAI PHÂN THỨC BẰNG NHAU
A. PHƯƠNG PHÁP
1. Định nghĩa phân thức đại số
Một phân thức đại số ( hay còn gọi là phân thức) là một biểu thức có dạng \[\frac{A}{B}\], trong đó A, B là những đa thức, và B khác 0.
+ A được gọi là tử thức ( hay tử).
+ B được gọi là mẫu thức ( hay mẫu).
- Mỗi đa thức cũng được coi như một phân thức với mẫu thức bằng 1.
2. Cách chứng minh hai phân thức bằng nhau
Để chứng minh hai phân thức đại số bằng nhau ra dùng định nghĩa để đưa về chứng minh đẳng thức bằng nhau.
Ta có:
+ Với hai phân thức \[\frac{A}{B}\] và \[\frac{C}{D}\] ta nói \[\frac{A}{B}\] = \[\frac{C}{D}\] nếu A.D = B.C
- Việc chứng minh hai đằng thức bằng nhau, tác giả đã trình bày ở phần I của trọn bộ sách này. Những phương pháp và cách thức hiện chứng minh đẳng thức, tác giả đã thực hiện các kỹ năng đầy dủ ở chương trước.
+ Việc chứng minh một đẳng thức ta áp dụng quy tắc để chứng minh. Có ba trường hợp cần chứng minh một đẳng thức đúng là: Chứng minh vế trái bằng vế phải, vế phải bằng vế trái, hoặc cả hai vế cùng bằng một vế nào đó.
+ Tuy nhiên trong kinh nghiệm giải toán của tác giả. Để chứng minh một đẳng thức đúng ta cần chứng minh vế nào phức tạp rồi dùng các quy tắc tính toán để rút gọn ta đưa đến vế đơn giản hơn.
B. BÀI TẬP MẪU
Bài tập mẫu 1: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a. \[\begin{array}{l}\frac{{ - x - 3}}{{x - 1}} = \frac{{{x^3} + 27}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}\\ = \left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( { - x - 3} \right) = \left( { - x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {1 - x} \right)\\ = - \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {1 - x} \right) = - \left( {{x^3} + 27} \right)\left( {1 - x} \right)\\\left( {{x^3} + 27} \right)\left( {x - 1} \right)\end{array}\]
b. \[\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - x - 2}}\]
Hướng dẫn giải
a. Ta cần chứng minh: \[x\left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\]
Cách 1: VT = \[x\left( {{x^2} + 2x} \right) = {x^3} + 2{x^2}\]
VP = \[\left( {x + 2} \right){x^2} = {x^3} + 2{x^2}\]
Vậy: \[x\left( {{x^2} + 2x} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\]
Do đó theo định nghĩa thì:
\[\frac{x}{{x + 2}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x}}\]
Cách 2: VT = \[x\left( {{x^2} + 2x} \right)\]= \[x.x\left( {x + 2} \right)\] = \[{x^2}\left( {x + 2} \right)\] = \[\left( {x + 2} \right){x^2}\]
Vậy:
\[\frac{x}{{x + 2}} = \frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x}}\]
b. Ta cần chứng minh : \[x\left( {{x^2} - x - 2} \right) = x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\]
Cách 1: VT = \[x\left( {{x^2} - x - 2} \right) = {x^3} - {x^2} - 2x\]
VP = \[x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} - {x^2} - 2x\]
Vậy: \[x\left( {{x^2} - x - 2} \right) = x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\]
Do đó:
\[\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - x - 2}}\]
Cách 2: VP = \[x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = x\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)} \right] = x\left( {{x^2} - x - 2} \right)\] = VT
Vậy: \[\frac{x}{{x - 2}} = \frac{{x\left( {x + 1} \right)}}{{{x^2} - x - 2}}\]
Bài tập mẫu 2: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a. \[\frac{{x + y}}{{xy - 1}} = \frac{{{x^2} + xy}}{{{x^2}y - x}}\]
b. \[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - x} \right)}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \frac{{1 - x}}{{x - y}}\]
Hướng dẫn giải
a. Cần chứng minh : \[\left( {x + y} \right)\left( {{x^2}y - x} \right) = \left( {xy - 1} \right)\left( {{x^2} + xy} \right)\]
Cách 1: VT = \[\left( {x + y} \right)\left( {{x^2}y - x} \right)\] = \[{x^3}y - {x^2} + {x^2}{y^2} - xy\]
VP = \[\left( {xy - 1} \right)\left( {{x^2} + xy} \right) = {x^3}y + {x^2}{y^2} - {x^2} - xy = {x^3}y - {x^2} + {x^2}{y^2} - xy\]
Do đó: VT = VP
Vậy: \[\frac{{x + y}}{{xy - 1}} = \frac{{{x^2} + xy}}{{{x^2}y - x}}\]
Cách 2: Ta có: VT =\[\left( {x + y} \right)\left( {{x^2}y - x} \right) = \left( {x + y} \right)x\left( {xy - 1} \right) = \left( {{x^2} + xy} \right)\left( {xy - 1} \right) = \left( {xy - 1} \right)\left( {{x^2} + xy} \right)\] =VP
Do đó: VT = VP
Vậy: \[\frac{{x + y}}{{xy - 1}} = \frac{{{x^2} + xy}}{{{x^2}y - x}}\]
b. Ta cần chứng minh: \[\left( {x - 1} \right)\left( {y - x} \right)\left( {x - y} \right) = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {1 - x} \right)\]
Cách 1: VT \[ = \]\[\left( {xy - {x^2} - y + x} \right)\left( {x - y} \right) = {x^2}y - x{y^2} - {x^3} + {x^2}y - xy + {y^2} + {x^2} - xy\]
\[ = 2{x^2}y - x{y^2} - {x^3} - 2xy + {y^2} + {x^2}\]
VP \[ = 2{x^2}y - x{y^2} - {x^3} - 2xy + {y^2} + {x^2}\]
\[ = 2{x^2}y - x{y^2} - {x^3} - 2xy + {y^2} + {x^2}\]
Do đó: VT = VP
Vậy: \[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - x} \right)}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \frac{{1 - x}}{{x - y}}\]
Cách 2: VT \[ = \]\[\left( {x - 1} \right)\left( {y - x} \right)\left( {x - y} \right) = \left[ { - \left( {1 - x} \right)} \right]\left[ { - \left( {x - y} \right)} \right]\left( {x - y} \right)\]
\[ = \left( {1 - x} \right)\left( {x - y} \right)\left( {x - y} \right) = \left( {1 - x} \right){\left( {x - y} \right)^2}\]
\[ = {\left( {x - y} \right)^2}\left( {1 - x} \right)\]
Do đó: VT = VP
Vậy: \[\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - x} \right)}}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \frac{{1 - x}}{{x - y}}\]
Bài tập mẫu 3: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a. \[\frac{{2x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{2x}}{{2x - 3}}\]b. \[\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 4}}\]
Hướng dẫn giải
a. Ta cần chứng minh:\[2x\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {2x - 3} \right) = 2x\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\]
VT \[ = 2x\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {2x - 3} \right) = \left( {2{x^3} + 2x} \right)\left( {2x - 3} \right)\]
\[ = 4{x^4} - 6{x^3} + 4{x^2} + 6x\]
VP \[ = 2x\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = \left( {4{x^2} - 6x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\]
\[ = 4{x^4} - 6{x^3} + 4{x^2} - 6x\]
Do đó: VT = VP
Nên: \[\frac{{2x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = \frac{{2x}}{{2x - 3}}\]
b. Ta cần chứng minh: \[\left( {{x^2} - 5x + 6} \right)\left( {x + 4} \right) = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x - 8} \right)\]
Cách 1: VT \[ = \left( {{x^2} - 5x + 6} \right)\left( {x + 4} \right) = {x^3} + 4{x^2} - 5{x^2} - 20x + 6x + 24\]
\[ = {x^3} - {x^2} - 14x + 24\]
VP \[ = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x - 8} \right) = {x^3} + 2{x^2} - 8x - 3\,{x^2} - 6x + 24\]
\[ = {x^3} - {x^2} - 14x + 24\]
Do đó: VT = VP
Nên: \[\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 4}}\]
Cách 2: VT \[ = \left( {{x^2} - 5x + 6} \right)\left( {x + 4} \right) = \left[ {x\left( {x - 3} \right) - 2\left( {x - 3} \right)} \right]\left( {x + 4} \right)\]
\[ = \left( {x - 3} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right) = \left( {x - 3} \right)\left[ {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)} \right]\]
\[ = \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 2x - 8} \right)\] = VP
Do đó: VT = VP
Nên: \[\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{x + 3}} = \frac{{{x^2} + 2x - 8}}{{x - 4}}\]
Nhận xét: Để chứng tỏ hai phân thức \[\frac{A}{B}\] và \[\frac{C}{D}\] bằng nhau, ta có thể dùng một trong hai cách sau:
Cách 1: Tính A.D và B.C để thấy rằng cách tích này đều cho ta cùng một kết quả.
Cách 2: Từ một trong hai tích A.D hoặc B.C ( cần có sự lựa chọn sao cho thuận lợi trong các biến đổi), bằng cachs sử dụng các phép tính của đa thức như: phép nhân, phân tích đa thức thành nhân tử ... để biến đổi tích này thành tích kia.
Bài tập mẫu 4: Các phân thức sau có bằng nhau hay không?
a. \[\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}}\];\[\frac{{x - 1}}{x};\]\[\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} - 5x}}\]
b.\[\frac{{3{x^2} - 7x + 4}}{{{x^2} - 4x + 3}}\];\[\frac{{3{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 5x + 6}};\]\[\frac{{3x - 4}}{{x - 3}}\]
Hướng dẫn giải
a. Nhận xét: \[\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)x = \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {x - 1} \right)\]
Ta có: VT \[ = \left( {{x^2} - 3x + 2} \right)x = {x^3} - 3{x^2} + 2x\] và VP \[ = \left( {{x^2} - 2x} \right)\left( {x - 1} \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2x\]
Do đó: VT = VP.
Vậy: \[\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{{x^2} - 2x}}\]=\[\frac{{x - 1}}{x}\]
Tương tự: \[\frac{{x - 1}}{x}\] = \[\frac{{{x^2} - 6x + 5}}{{{x^2} - 5x}}\]
b. Dễ thấy: \[\frac{{3{x^2} - 7x + 4}}{{{x^2} - 4x + 3}}\] = \[\frac{{3x - 4}}{{x - 3}}\]
Mặt khác: \[\frac{{3{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 5x + 6}} \ne \]\[\frac{{3x - 4}}{{x - 3}}\]
Vì vậy: \[\frac{{3{x^2} - 7x + 4}}{{{x^2} - 4x + 3}} \ne \frac{{3{x^2} - 5x + 2}}{{{x^2} - 5x + 6}}\]
Nhận xét: Khi gặp dạng bài này mà có nhiều hơn hai phân thức ta cần lựa chọn phân thức trung gian để Thực hiện các phép nhân dễ dàng hơn.
Chẳng hạn trong bài tập trên; ở bài a phân thức trung gian là \[\frac{{x - 1}}{x}\]; còn ở bài b là \[\frac{{3x - 4}}{{x - 3}}\].
Bài tập mẫu 5: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a. \[\frac{{{x^2} - 7x + 6}}{{x - 6}} = \frac{{2{x^2} - 7x + 5}}{{2x - 5}}\]
b. \[\frac{{ - x - 3}}{{x - 1}} = \frac{{{x^3} + 27}}{{\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)}}\]
Hướng dẫn giải
a. Ta cần chứng minh: \[\left( {{x^2} - 7x + 6} \right)\left( {2x - 5} \right) = \left( {2{x^2} - 7x + 5} \right)\left( {x - 6} \right)\]
Ta có: VT \[ = \left( {{x^2} - 7x + 6} \right)\left( {2x - 5} \right) = \left( {{x^2} - 6x - x + 6} \right)\left( {2x - 5} \right)\]
\[ = \left[ {x\left( {x - 6} \right) - \left( {x - 6} \right)} \right]\left( {2x - 5} \right) = \left( {x - 6} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {2x - 5} \right)\]
\[ = \left( {x - 6} \right)\left( {2{x^2} - 7x + 5} \right)\]= VP
Vậy hai phân thức đó bằng nhau.
b. Ta cần chứng minh: \[\left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( { - x - 3} \right) = \left( {{x^3} + 27} \right)\left( {x - 1} \right)\]
Ta có: VT \[ = \left( {1 - x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( { - x - 3} \right) = \left( { - x - 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {1 - x} \right)\]
\[ = - \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} - 3x + 9} \right)\left( {1 - x} \right) = - \left( {{x^3} + 27} \right)\left( {1 - x} \right)\]
=\[\left( {{x^3} + 27} \right)\left( {x - 1} \right)\] = VP
Vậy đẳng thức được chứng minh.
Bài tập mẫu 6: Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng tỏ rằng:
a. \[\frac{{2 - x}}{{x - 5}} = \frac{{{x^3} - 8}}{{\left( {5 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}\]
b. \[\frac{{{x^3} - 4{x^2} - x + 4}}{{{x^3} - 7{x^2} + 14x - 8}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\]
Hướng dẫn giải
a. Ta cần chứng minh: \[\left( {5 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\left( {2 - x} \right) = \left( {x - 5} \right)\left( {{x^3} - 8} \right)\]
Ta có VP \[ = \left( {x - 5} \right)\left( {{x^3} - 8} \right) = \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\left( {x - 5} \right)\]
\[ = \left( { - \left( {2 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\left( { - \left( {5 - x} \right)} \right)} \right)\]
\[ = \left( {5 - x} \right)\left( {{x^2} + 2x + 4} \right)\left( {2 - x} \right)\] = VT
Vậy đẳng thức được chứng minh.
b. Ta cần chứng minh:\[\left( {{x^3} - 4{x^2} - x + 4} \right)9x - 2 = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - 7{x^2} + 14x - 8} \right)\]
Ta có: VT \[ = \left( {{x^3} - 4{x^2} - x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {{x^3} + {x^2} - 5{x^2} - 5x + 4x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\]
\[ = \left[ {{x^2}\left( {x + 1} \right) - 5x\left( {x + 1} \right) + 4\left( {x + 1} \right)} \right]\left( {x - 2} \right)\]
\[ = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 5x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)\]
\[ = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - 7{x^2} + 14x - 8} \right)\] = VP
Vậy : \[\frac{{{x^3} - 4{x^2} - x + 4}}{{{x^3} - 7{x^2} + 14x - 8}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\]
Chú ý: Đối với những bài phân tích đa thức thành nhân tử khá khó khăn chúng ta có thể chứng minh hai đẳng thức bằng nhau bằng cách biến đổi hai vế của đẳng
thức thành biểu thức giống nhau. Để đạt đến mục đích cuối cùng là chứng mình đẳng thức. Thật vậy đối với bài toán này cần chứng minh như sau:
\[\left( {{x^3} - 4{x^2} - x + 4} \right)\left( {x - 2} \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^3} - 7{x^2} + 14x - 8} \right)\]
Ta có:
VT\[ = {x^4} - 2{x^3} - 4{x^3} + 8{x^2} - {x^2} + 2x + 4x - 8 = {x^4} - 6{x^3} + 7{x^2} + 6x - 8\]
VP \[ = {x^4} + {x^3} - 7{x^3} - 7{x^2} + 14{x^2} + 14x - 8x - 8 = {x^4} - 6{x^3} + 7{x^2} + 6x - 8\]
Vậy sau khi biến đổi ta thấy vế trái và vế phải đều bằng \[{x^4} - 6{x^3} + 7{x^2} + 6x - 8\]
Vậy : \[\frac{{{x^3} - 4{x^2} - x + 4}}{{{x^3} - 7{x^2} + 14x - 8}} = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\]
................................
................................
................................
Xem thêm Chuyên đề dạy thêm Toán lớp 8 các chương hay khác:
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều
