Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai.

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai lớp 9 (cách giải + bài tập)

(199k) Xem Khóa học Toán 9

1. Cách giải bài tập

• Dựa vào điều kiện: $\sqrt{A^2+b}\ge \sqrt{b}$ (b ≥ 0).

$\sqrt{-A^2+b}\le \sqrt{b}$ (b ≥ 0).

Dấu “=” xảy ra khi A = 0.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) A = x – 2$\sqrt{x}$;

b) C = $\frac{2\sqrt{x}-9}{\sqrt{x}+1}$;

c) $D=\frac{x+4\sqrt{x}+12}{\sqrt{x}+3}$.

Hướng dẫn giải

a) A = x – 2$\sqrt{x}$ = x – 2$\sqrt{x}$ + 1 – 1 = ($\sqrt{x}$ − 1)² – 1.

Nhận thấy ($\sqrt{x}$ − 1)² ≥ 0 với x ≥ 0.

Suy ra ($\sqrt{x}$ − 1)² – 1 ≥ −1 với x ≥ 0 hay A ≥ −1 với x ≥ 0.

Vậy GTNN của A = −1 khi x = 1.

b) C = $\frac{2\sqrt{x}-9}{\sqrt{x}+1}$

Điều kiện: x ≥ 0.

Với x ≥ 0, ta có: $\frac{2\sqrt{x}-9}{\sqrt{x}+1}\ge \frac{2\sqrt{0}-9}{\sqrt{0}+1}=-9$.

Vậy GTNN của C = −9 khi x = 0.

c) $D=\frac{x+4\sqrt{x}+12}{\sqrt{x}+3}$

Điều kiện: x ≥ 0.

Với x ≥ 0, ta có: $\frac{x+4\sqrt{x}+12}{\sqrt{x}+3}\ge \frac{0+4.0+12}{0+3}=4$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTNN của D = 4 khi x = 0.

Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

a) $A=\frac{3}{2\sqrt{x}+5}$;

b) $B=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+3}$;

c) $D=\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$.

Hướng dẫn giải

a) $A=\frac{3}{2\sqrt{x}+5}$.

Điều kiện: x ≥ 0.

Với x ≥ 0 thì $\sqrt{x}$ ≥ 0 suy ra $2\sqrt{x}\ge 0$.

Do đó $2\sqrt{x}+5\ge 5$, suy ra $\frac{3}{2\sqrt{x}+5}\le \frac{3}{5}$ hay A ≤ $\frac{3}{5}$.

Vậy GTLN của A = $\frac{3}{5}$ khi x = 0.

b) $B=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+3}$

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $B=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+3}=1+\frac{2}{\sqrt{x}+3}$.

Nhận thấy với x ≥ 0 thì $\sqrt{x}+3\ge 3$ suy ra $\frac{2}{\sqrt{x}+3}\le \frac{2}{3}$.

Do đó, $1+\frac{2}{\sqrt{x}+3}\le 1+\frac{2}{3}$ hay B ≤ $\frac{5}{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTLN của B = $\frac{5}{3}$ khi x = 0.

c) $D=\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}$.

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $x-\sqrt{x}+1=x-2.\frac{1}{2}\sqrt{x}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$ với x ≥ 0.

Suy ra $\frac{1}{x-\sqrt{x}+1}\le \frac{1}{\frac{3}{4}}=\frac{4}{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-\frac{1}{2}=0$ hay x = $\frac{1}{4}$.

Vậy GTLN của D = $\frac{4}{3}$ khi x = $\frac{1}{4}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=\frac{x+2}{\sqrt{x}}$ (x > 0) là

A.$2\sqrt{2}$.

B. 4.

C. 2.

D.$\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $A=\frac{x+2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$.

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}\frac{2}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}$ hay x = 2.

Vậy GTNN của A = $2\sqrt{2}$ khi x = 2.

Bài 2. Giá trị lớn nhất của biểu thức $B=\frac{2\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}+2}$ (x ≥ 0) là

A.$\frac{9}{2}$.

B.$-\frac{9}{2}$.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: $B=\frac{2\sqrt{x}+9}{\sqrt{x}+2}=2+\frac{5}{\sqrt{x}+2}$.

Với x ≥ 0, ta có: $\sqrt{x}+2\ge 2$ suy ra $\frac{5}{\sqrt{x}+2}\le \frac{5}{2}$.

Do đó, 2 + $\frac{5}{\sqrt{x}+2}\le \frac{5}{2}+2$ hay B ≤ $\frac{9}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vật GTLN của B = $\frac{9}{2}$ khi x = 0.

Bài 3. Biểu thức $C=\frac{2\sqrt{x}+11}{3\sqrt{x}+2}$ đạt giá trị lớn nhất tại x bằng:

A.$\frac{11}{2}$.

B.$-\frac{11}{2}$.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện: x ≥ 0.

Ta có: $C=\frac{2\sqrt{x}+11}{3\sqrt{x}+2}=\frac{2\left(\sqrt{x}+\frac{2}{3}\right)+\frac{29}{3}}{3\left(\sqrt{x}+\frac{2}{3}\right)}$

$C=\frac{2}{3}+\frac{29}{3\left(3\sqrt{x}+2\right)}$.

Với x ≥ 0, ta có: $3\sqrt{x}+2\ge 2$ suy ra $3\left(3\sqrt{x}+2\right)\ge 6$.

Do đó, $\frac{29}{3\left(3\sqrt{x}+2\right)}\le \frac{29}{6}$.

Suy ra $\frac{2}{3}+\frac{29}{3\left(3\sqrt{x}+2\right)}\le \frac{11}{2}$ hay C ≤ $\frac{11}{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0.

Vậy GTLN của C = $\frac{11}{2}$ khi x = 0.

Bài 4. Biểu thức $D=\frac{x-\sqrt{x}+1}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất tại x bằng:

A.$\frac{3}{4}$.

B. 4.

C.$\frac{1}{4}$

D. 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x > 0.

Ta có: $D=\frac{x-\sqrt{x}+1}{x}=1-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}$

$D=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-2.\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}=\frac{3}{4}+{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2$

Nhận thấy ${\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2\ge 0$ nên $\frac{3}{4}+{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2\ge \frac{3}{4}$ hay D $\ge \frac{3}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{x}}=0$ suy ra $\sqrt{x}=2$ khi x = 4.

Vậy GTNN của của D = $\frac{3}{4}$ khi x = 4.

Bài 5. Cho biểu thức $D=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\frac{{\left(1-x\right)}^2}{2}$ với x ≥ 0, x ≠ 1. Giá trị lớn nhất của D là:

A.$\frac{1}{4}$.

B.$-\frac{1}{4}$.

C.$\frac{1}{2}$.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

$D=\left(\frac{\sqrt{x}-2}{x-1}-\frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1}\right).\frac{{\left(1-x\right)}^2}{2}$

$D=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-2\right){\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}{\left(x-1\right){\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}-\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right){\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}\right].\frac{{\left(1-x\right)}^2}{2}$

$D=\left[\frac{\left(\sqrt{x}-2\right){\left(\sqrt{x}+1\right)}^2-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(x-1\right)}{\left(x-1\right){\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}\right].\frac{{\left(1-x\right)}^2}{2}$

$D=\frac{\left[x\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}-2x-4\sqrt{x}-2-x\sqrt{x}+\sqrt{x}-2x+2\right]}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}.\frac{\left(x-1\right)}{2}$

$D=\frac{\left(-2x-2\sqrt{x}\right)}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}.\frac{\left(x-1\right)}{2}=\frac{-2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{2}=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)$

Ta có: $D=-\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)=-x+\sqrt{x}$

$D=-x+2.\frac{1}{2}\sqrt{x}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=-{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}$

Nhận thấy $-{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2\le 0$ nên $-{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\le \frac{1}{4}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = $\frac{1}{4}$.

Vậy GTLN của D = $\frac{1}{4}$ khi x = $\frac{1}{4}$.

Bài 6. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}$ và $B=\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}}$ với x > 0 và x ≠ 1. Tính giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{A}{B}+2018$ khi x > 1

A. 4.

B. 2020.

C. 2018.

D. 2022.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với x > 0 và x ≠ 1, ta có:

$A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x-1}$

$A=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$A=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

Có: $P=\frac{A}{B}+2018$ với x > 1.

$=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}:\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}}+2018$

$=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+2}+2018$

$=\frac{x}{\sqrt{x}-1}+2018$

$=\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2018$

$=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2018$

$=\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2020$

Với x > 1, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}\ge 2\sqrt{\left(\sqrt{x}-1\right).\frac{1}{\sqrt{x}-1}}=2$

Suy ra $\sqrt{x}-1+\frac{1}{\sqrt{x}-1}+2020\ge 2022$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}-1=\frac{1}{\sqrt{x}-1}$ hay x = 4 (do x > 1).

Vậy GTNN của P = 2022 khi x = 4.

Bài 7. Cho biểu thức $P=\frac{x-9}{\sqrt{x}}$ và $Q=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{2\sqrt{x}+5}{9-x}$ với x > 0 và x ≠ 9. Tổng tất cả các giá trị của x để A = P.Q đạt giá trị nhỏ nhất là

A. 4.

B. 0.

C. 2.

D.$2\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Với x > 0, ta có:

$Q=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}-\frac{2\sqrt{x}+5}{9-x}$

$Q=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{2\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$Q=\frac{x-2\sqrt{x}-3+2\sqrt{x}+5}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$.

Có A = P.Q = $\frac{x-9}{\sqrt{x}}.\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{x+2}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$

Với x > 0, áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}.\frac{2}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{2}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}}$ hay x = 2 (thỏa mãn).

Vậy GTNN của A = $2\sqrt{2}$ khi x = 2.

Bài 8. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}-1}$ và $B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}$ với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ $\frac{1}{4}$. Giá trị của x để M = A.B đạt giá trị lớn nhất là:

A. 4.

B. 5.

C. 0.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với x ≥ 0, x ≠ 1, x ≠ $\frac{1}{4}$, ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}-\frac{3\sqrt{x}+1}{x-1}$

$B=\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$B=\frac{x+2\sqrt{x}+1+x-2\sqrt{x}+1-3\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$B=\frac{2x-3\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$.

Ta có: M = A.B = $\frac{\sqrt{x}+5}{2\sqrt{x}-1}.\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}$.

Ta có: $M=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+1}=1+\frac{4}{\sqrt{x}+3}$

Nhận thấy với x ≥ 0 thì $\sqrt{x}+1\ge 1$ suy ra $\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le 4$.

Do đó, $1+\frac{4}{\sqrt{x}+1}\le 1+4$ hay M ≤ 5.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy GTLN của M = 5 khi x = 0.

Bài 9. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\left(\frac{3\sqrt{x}+6}{x-4}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$ với

x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9. Giá trị lớn nhất của biểu thức M = A.B là:

A.$\frac{1}{3}$.

B. 0.

C.$-\frac{1}{3}$.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠ 9, ta có:

$B=\left(\frac{3\sqrt{x}+6}{x-4}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}\right):\frac{x-9}{\sqrt{x}-3}$

$B=\left[\frac{\left(3\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right].\frac{1}{\sqrt{x}+3}$

$B=\frac{3\sqrt{x}+6+x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{1}{\sqrt{x}+3}$

$B=\frac{x+5\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{1}{\sqrt{x}+3}$

$B=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{1}{\sqrt{x}+3}$

$B=\frac{1}{\sqrt{x}-2}$

Ta có: M = A.B = $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+3}.\frac{1}{\sqrt{x}-2}=\frac{1}{\sqrt{x}+3}$.

Vì x ≥ 0 nên $\sqrt{x}\ge 0$ suy ra $\sqrt{x}+3\ge 3$. Do đó $\frac{1}{\sqrt{x}+3}\le \frac{1}{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy GTLN của M = $\frac{1}{3}$ khi x = 0.

Bài 10. Cho hai biểu thức $P=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}$ và $Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5\sqrt{x}-2}{4-x}$ với x > 0 và

x ≠ 4. Giá trị của x để biểu thức $\frac{P}{Q}$ đạt giá trị nhỏ nhất là

A.$3\sqrt{2}$.

B.$2\sqrt{3}$.

C. 0.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với x > 0 và x ≠ 4, ta có:

$Q=\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+2}-\frac{5\sqrt{x}-2}{4-x}$

$Q=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$Q=\frac{x-3\sqrt{x}+2+5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$Q=\frac{x+2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$

Ta có: $\frac{P}{Q}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}:\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}=\frac{x+3}{\sqrt{x}-2}.\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}=\frac{x+3}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}$.

Do x > 0 nên áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

$\sqrt{x}+\frac{3}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}\frac{3}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{3}$.

Dấu “=” xảy ra khi $\sqrt{x}=\frac{3}{\sqrt{x}}$ suy ra x = 3 (thỏa mãn).

Vậy GTNN của $\frac{P}{Q}$ bằng $2\sqrt{3}$ khi x = 3.

(199k) Xem Khóa học Toán 9

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán thực tế liên quan đến biểu thức có chứa căn thức bậc hai
• Tìm căn bậc ba của một số
• So sánh hai căn bậc ba
• Tính giá trị biểu thức có chứa căn bậc ba tại giá trị cho trước của ẩn số
• Rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

---