Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p trang 29 SBT Toán 11

Siêu sale 15-5 Shopee

Trang trước Trang sau

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.59 trang 29 SBT Toán 11 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p

a) y = sin x – cos x;

b) y = sin x + sin $(\frac{π}{3} - x)$ ;

c) y = sin⁴ x + cos⁴ x;

d) y = cos 2x + 2cos x – 1.

Quảng cáo

Lời giải:

a) Ta có y = sin x – cos x = $\sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4})$ .

Vì $- 1 \leq \sin (x - \frac{π}{4}) \leq 1$ nên $- \sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) \leq \sqrt{2}$ , với mọi $x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là $\sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x - \frac{π}{4}) = 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{3 π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ >.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \sqrt{2}$ , đạt được khi $\sin (x - \frac{π}{4}) = - 1$

$\Leftrightarrow x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{2} + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = - \frac{π}{4} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

b) Ta có y = sin x + sin $(\frac{π}{3} - x)$ $= 2 \sin \frac{x + \frac{π}{3} - x}{2} \cos \frac{x - \frac{π}{3} + x}{2}$

$= 2 \sin \frac{π}{6} \cos (x - \frac{π}{6})$ $= 2. \frac{1}{2} \cos (x - \frac{π}{6}) = \cos (x - \frac{π}{6})$ .

Ta có $- 1 \leq \cos (x - \frac{π}{6}) \leq 1 \forall x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi $\cos (x - \frac{π}{6}) = 1$ $\Leftrightarrow x - \frac{π}{6} = k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{π}{6} + k 2 π (k \in ℤ)$ và giá trị nhỏ nhất của hàm số là – 1, đạt được khi $\cos (x - \frac{π}{6}) = - 1$ $\Leftrightarrow x - \frac{π}{6} = π + k 2 π (k \in ℤ)$ $\Leftrightarrow x = \frac{7 π}{6} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

c) Ta có y = sin⁴ x + cos⁴ x = (sin² x + cos² x)² – 2sin² x cos² x

= 1 – 2 (sin x cos x)² = $1 - 2. {(\frac{\sin 2 x}{2})}^{2}$ = $1 - \frac{1}{2} \sin^{2} 2 x$

= $1 - \frac{1}{2} . \frac{1 - \cos 4 x}{2}$ = $1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x$ = $\frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x$ .

Vì – 1 ≤ cos 4x ≤ 1 nên $- \frac{1}{4} \leq \frac{1}{4} \cos 4 x \leq \frac{1}{4}$ , do đó $\frac{3}{4} - \frac{1}{4} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4}$

hay $\frac{1}{2} \leq \frac{3}{4} + \frac{1}{4} \cos 4 x \leq 1 \forall x \in ℝ$ .

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 1, đạt được khi cos 4x = 1 ⇔ 4x = k2π (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow x = k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $\frac{1}{2}$ , đạt được khi cos 4x = – 1 ⇔ 4x = π + k2π (k ∈ ℤ)

$\Leftrightarrow x = \frac{π}{4} + k \frac{π}{2} (k \in ℤ)$ .

d) Ta có y = cos 2x + 2cos x − 1

= (2cos² x – 1) + 2cos x – 1

= 2cos² x + 2cos x – 2

= 2t² + 2t – 2 với t = cos x ∈ [– 1; 1].

Xét hàm số y = 2t² + 2t – 2 trên đoạn [– 1; 1]. Hàm số này có đồ thị như trong hình vẽ dưới đây.

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của p trang 29 SBT Toán 11

Từ đồ thị ở hình trên ta suy ra được giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là 2, đạt được khi cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ) và giá trị nhỏ nhất của hàm số là $- \frac{5}{2}$ , đạt được khi $\cos x = - \frac{1}{2}$ $\Leftrightarrow x = \pm \frac{2 π}{3} + k 2 π (k \in ℤ)$ .

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn SALE shopee Tết:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.