Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)

Siêu sale 25-5 Shopee

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 29 trang 70 SBT Toán 11 Tập 2: Giả sử u_n là số hạng thứ n của dãy số (u_n) và $u_{n} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}$ .

a) Chứng tỏ rằng u₁ = 1, u₂ = 1 và u_{n + 2} = u_{n + 1} + u_n với mọi n $\in$ ℕ^*. Từ đó suy ra (u_n) là dãy số Fibonacci.

b) Viết 11 số hạng đầu tiên của dãy Fibonacci và 10 tỉ số $\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ đầu tiên.

Tính $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

a) Ta có a^{n + 2} – b^{n + 2} = a^{n + 1}.a − b^{n + 1}.b

= a^{n + 1}.a + a^{n + 1}.b − b^{n + 1}.b − b^{n + 1}.a − a^{n + 1}.b + b^{n + 1}.a

= a^{n + 1}.(a + b) − b^{n + 1}.(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ)

= (a^{n + 1} − b^{n + 1}).(a + b) – ab(aⁿ − bⁿ) (*)

Có $u_{1} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{1} - {(1 - \sqrt{5})}^{1}}{2^{1} \sqrt{5}}$ $= \frac{2 \sqrt{5}}{2 \sqrt{5}} = 1$ .

$u_{2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{2} - {(1 - \sqrt{5})}^{2}}{2^{2} \sqrt{5}}$ $= \frac{4 \sqrt{5}}{4 \sqrt{5}} = 1$ .

Áp dụng (*), ta có:

$u_{n + 2} = \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 2} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 2}}{2^{n + 2} \sqrt{5}}$

Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)

$= \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}}{2^{n + 1} \sqrt{5}} + \frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}$ = u_n+1 + u_n.

Vậy u_{n + 2} = u_n+1 + u_n. Do đó (u_n) là dãy Fibonacci.

b) Ta có bảng sau

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
u_n	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
$\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$	1	2	$\frac{3}{2}$	$\frac{5}{3}$	$\frac{8}{5}$	$\frac{13}{8}$	$\frac{21}{13}$	$\frac{34}{21}$	$\frac{55}{34}$	$\frac{89}{55}$

Ta có $\lim_{n \to + \infty} \frac{u_{n + 1}}{u_{n}}$ $= \lim_{n \to + \infty} \frac{\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n + 1} - {(1 - \sqrt{5})}^{n + 1}}{2^{n + 1} \sqrt{5}}}{\frac{{(1 + \sqrt{5})}^{n} - {(1 - \sqrt{5})}^{n}}{2^{n} \sqrt{5}}}$

Giả sử un là số hạng thứ n của dãy số (un)

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn SALE shopee Tết:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.