Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a

Siêu sale 25-5 Shopee

Giải sách bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 43 trang 72 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a, AA' = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BB' và CC'.

a) Tính theo a thể tích khối tứ diện AA'MN.

b) Tính côsin góc nhị diện [A, MN, A'].

Quảng cáo

Lời giải:

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có AB = a

a) Ta có $V_{N A A^{'} M} = \frac{1}{3}$ d(N,(AMA')). $S_{A A^{'} M}$ .

Do CC' // AA' nên CC' // (AA'B'B) nên d(N, (AMA')) = d(C, (AA'B'B)).

Kẻ CH $⊥$ AB tại H.

Vì BB' $⊥$ (ABC) nên BB' $⊥$ CH mà CH $⊥$ AB nên CH $⊥$ (AA'B'B).

Do đó d(C, (AA'B'B)) = CH.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, CH là đường cao có CH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ ,

suy ra d(C, (AA'B'B)) = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì ABB'A' là hình chữ nhật có d(M, AA') = AB = a.

Do đó $S_{A A^{'} M} = \frac{1}{2}$ d(M,AA').AA' = $\frac{1}{2}$ .a.2a = a².

Vậy $V_{N A A^{'} M} = \frac{1}{3} d (N, (A M A^{'})) \cdot S_{A A^{'} M}$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

b) Gọi I là trung điểm của MN.

Vì M, N là trung điểm của BB' và CC' nên CN = C'N, BM = B'M.

Mà AA' = BB' = CC' = 2a nên CN = C'N = BM = B'M = a.

Vì ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác đều nên

AB = AC = BC = A'B' = A'C' = B'C' = a.

Xét tam giác CAN vuông tại C, có AN² = AC² + CN² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác A'C'N vuông tại C', có A'N² = A'C'² + C'N² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác A'B'M vuông tại B', có A'M² = A'B'² + B'M² = a² + a² = 2a².

Xét tam giác ABM vuông tại B, có AM² = AB² + BM² = a² + a² = 2a².

Do đó AN = A'N = A'M = AM.

Xét tam giác A'MN có A'M = A'N nên tam giác A'MN cân tại A' mà A'I là trung tuyến nên A'I đồng thời là đường cao hay A'I $⊥$ MN.

Xét tam giác AMN có AM = AN nên tam giác AMN cân tại A mà AI là trung tuyến nên AI đồng thời là đường cao hay AI $⊥$ MN.

Vì A'I $⊥$ MN và AI $⊥$ MN nên [A, MN, A'] = $\hat{A I A^{'}}$ .

Vì I là trung điểm của MN mà MN = BC = a nên MI = IN = $\frac{M N}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác A'MI vuông tại I, có $A^{'} I = \sqrt{A^{'} M^{2} - M I^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{7}}{2}$ .

Xét tam giác ANI vuông tại I, có $A I = \sqrt{A N^{2} - N I^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{7}}{2}$ .

Áp dụng định lí côsin trong tam giác AA'I, ta có:

$c o s \hat{A I A^{'}} = \frac{A I^{2} + A^{'} I^{2} - A {A^{'}}^{2}}{2 \cdot A I \cdot A^{'} I}$ $= \frac{\frac{7 a^{2}}{4} + \frac{7 a^{2}}{4} - 4 a^{2}}{2 \cdot \frac{7 a^{2}}{4}} = - \frac{1}{7}$ .

Vậy côsin góc nhị diện [A, MN, A'] bằng - $\frac{1}{7}$ .

Quảng cáo

Lời giải SBT Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải Sách bài tập Toán 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Săn SALE shopee Tết:

ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11

Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official

Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Sách luyện 30 đề thi thử THPT năm 2025 mới

4.5 (243)

199,000đ

99.000 - 149.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.