Hoạt động khám phá 6 trang 50 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 6 trang 50 Toán 12 Tập 2: Cho ba đường thẳng

$d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - t \end{cases}$ ; $d^{''} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$ và $d^{''} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{''} \\ y = - 2 + t^{''} \\ z = 3 + 3 t^{''} \end{cases}$

Quảng cáo

a) Đường thẳng d' và đường thẳng d" có song song hay trùng với đường thẳng d không?

b) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 1 + t = 2 - 2 t^{'} \\ 2 + 3 t = - 2 + t^{'} \\ 3 - t = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$ (ẩn t và t'). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d'.

c) Giải hệ phương trình $\{\begin{cases} 1 + t = 2 - 2 t^{''} \\ 2 + 3 t = - 2 + t^{''} \\ 3 - t = 3 + 3 t^{''} \end{cases}$ (ẩn t và t"). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d".

Lời giải:

a) Ta có đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\vec{a_{1}} = (1; 3; - 1)$ .

Đường thẳng d' đi qua N(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{a_{2}} = (- 2; 1; 3)$

Vì $\vec{a_{1}}; \vec{a_{2}}$ không cùng phương nên d và d' không song song với nhau.

Đường thẳng d" đi qua P(2; −2; 3) và có vectơ chỉ phương $\vec{a_{3}} = (- 2; 1; 3)$

Vì $\vec{a_{1}}; \vec{a_{3}}$ không cùng phương nên d và d" không song song với nhau.

b) $\{\begin{cases} 1 + t = 2 - 2 t^{'} \\ 2 + 3 t = - 2 + t^{'} \\ 3 - t = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t + 2 t^{'} = 1 \\ 3 t - t^{'} = - 4 \\ t + 3 t^{'} = 2 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t^{'} = 1 \end{cases}$ . Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Vậy d và d' cắt nhau.

c) $\{\begin{cases} 1 + t = 2 - 2 t^{''} \\ 2 + 3 t = - 2 + t^{''} \\ 3 - t = 3 + 3 t^{''} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t + 2 t^{''} = 1 \\ 3 t - t^{''} = - 4 \\ t + 3 t^{''} = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = - 1 \\ t^{'} = 1 \\ - 1 + 3 = 0 \end{cases}$ (vô nghiệm).