Hoạt động khám phá 8 trang 53 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 8 trang 53 Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{a} = (2; 1; 3)$ , $\vec{a^{'}} = (3; 2; - 8)$

Quảng cáo

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ $\vec{b} = (- 2; - 1; - 3)$ có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức cos(d, d') = $|\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = |\cos (\vec{b}, \vec{a^{'}})|$ .

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Lời giải:

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu (d, d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\vec{b} = (- 2; - 1; - 3) = - \vec{a}$ . Do đó $\vec{b}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

c) Vì $\vec{a}, \vec{a^{'}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

+) (d, d') = $(\vec{a}, \vec{a^{'}})$ nếu $0 ° \leq (\vec{a}, \vec{a^{'}}) \leq 90 °$

+) $(d, d^{'}) = 180 ° - (\vec{a}, \vec{a^{'}})$ nếu $90 ° < (\vec{a}, \vec{a^{'}}) \leq 180 °$ .

Do đó $\cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = |\cos (\vec{b}, \vec{a^{'}})|$ .

d) $\cos (d, d^{'}) = |\cos (\vec{a}, \vec{a^{'}})| = \frac{|\vec{a} . \vec{a^{'}}|}{|\vec{a}| |\vec{a^{'}}|} = \frac{|2.3 + 1.2 + 3. (- 8)|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 3^{2}} . \sqrt{3^{2} + 2^{2} + {(- 8)}^{2}}} = \frac{16}{7 \sqrt{22}}$