Thực hành 7 trang 52 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian - Chân trời sáng tạo

Thực hành 7 trang 52 Toán 12 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau.

Quảng cáo

a) $d : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = 1 - t \\ z = 2 - 3 t \end{cases}$ và $d^{'} : \frac{x - 2}{4} = \frac{y}{7} = \frac{z + 1}{11}$ ;

b) $d : \frac{x - 4}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{2}$ và $d^{'} : \frac{x - 2}{3} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 1}{9}$

Lời giải:

a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{a_{1}} = (2; - 1; - 3)$ , $\vec{a_{2}} = (4; 7; 11)$ .

Ta có $\frac{2}{4} \neq \frac{- 1}{7}$ nên $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}$ không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét phương trình d' ở dạng tham số $\{\begin{cases} x = 2 + 4 t^{'} \\ y = 7 t^{'} \\ z = - 1 + 11 t^{'} \end{cases}$

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} 2 + 4 t^{'} = 2 t \\ 7 t^{'} = 1 - t \\ - 1 + 11 t^{'} = 2 - 3 t \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} 4 t^{'} - 2 t = - 2 \\ 7 t^{'} + t = 1 \\ 11 t^{'} + 3 t = 3 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t^{'} = 0 \\ t = 1 \\ 11.0 + 3.1 = 3 \end{cases}$

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Do đó d và d' cắt nhau.

b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\vec{a_{1}} = (1; 2; 2)$ , $\vec{a_{2}} = (3; 2; 9)$ .

Ta có $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{2}$ do đó $\vec{a_{1}}, \vec{a_{2}}$ không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta có phương trình đường thẳng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượt là:

$d : \{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = 1 + 2 t \\ z = 1 + 2 t \end{cases}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 2 + 3 t^{'} \\ y = 1 + 2 t^{'} \\ z = 1 + 9 t^{'} \end{cases}$ .

Ta có hệ phương trình $\{\begin{cases} 4 + t = 2 + 3 t^{'} \\ 1 + 2 t = 1 + 2 t^{'} \\ 1 + 2 t = 1 + 9 t^{'} \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t - 3 t^{'} = - 2 \\ 2 t - 2 t^{'} = 0 \\ 2 t - 9 t^{'} = 0 \end{cases}$ $\Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ t^{'} = 1 \\ 2.1 - 9.1 = 0 \end{cases}$ (vô nghiệm).