Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N sao

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) $1^3+2^3+3^3+...+n^3=\frac{n^2{(n+1)}^2}{4}$

b) $1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+n(3n+1)=n{(n+1)}^2$

c) $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{n}{2n+1}$

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 1³ = $\frac{1^2{(1+1)}^2}{4}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3+{(k+1)}^3=\frac{(k+1)2\left[(k+1)+1\right]2}{4}$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1^3+2^3+3^3+...+k^3+{(k+1)}^3$

$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4} +{(k+1)}^3$

$=\frac{k^2{(k+1)}^2}{4}+\frac{4{(k+1)}^3}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2[k^2+4(k+1)]}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2(k^2+4k+4)}{4}$

$=\frac{{(k+1)}^2{(k+2)}^2}{4}=\frac{{(k+1)}^2{[(k+1)+1]}^2}{4}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 1(3 . 1 + 1) = 4 = 1(1 +  1)². Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)=k{(k+1)}^2.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1){[(k+1)+1]}^2.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1.4+2.7+3.10+\mathrm{\dots }+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=k{(k+1)}^2+(k+1)[3(k+1)+1]$

$=(k+1)[k(k+1)+3(k+1)+1]$

$=(k+1)(k^2+4k+4)$

$=(k+1){(k+2)}^2=(k+1){[(k+1)+1]}^2.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

c) Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}=\frac{1}{2.1+1}.$ Do đó đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}.$

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{[2(k+1)-1][2(k+1)+1]}$

$=\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{2k^2+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}=\frac{k+1}{2(k+1)+1}.$

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ*: a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4....

• Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n∈ ℕ*. ....

• Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n∈ ℕ* ....

• Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau: ....

• Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển: ....

• Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶ ....

• Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần ....

• Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. ....

• Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*: ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---