Chứng minh rằng bất đẳng thức (1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n) nhỏ hơn bằng (n+1)/2

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n∈ ℕ*

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1}=1=\frac{1+1}{2}.$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k}\le \frac{k+1}{2}.$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le \frac{(k+1)+1}{2}.$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}\le$$\frac{k+1}{2}+\frac{1}{k+1}=\frac{{(k+1)}^2+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+2k+3}{2(k+1)}$

$\le \frac{k^2+2k+1+2}{2(k+1)}\le \frac{k^2+2k+k+2}{2(k+1)}=\frac{k^2+3k+2}{2(k+1)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(k+1)}=\frac{k+2}{2}=\frac{(k+1)+1}{2}.$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*.....

• Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ*: a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4....

• Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n∈ ℕ*. ....

• Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau: ....

• Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển: ....

• Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶ ....

• Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần ....

• Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. ....

• Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*: ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---