Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n thuộc N sao

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài tập cuối chuyên đề 2

Bài 10 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{\dots }+2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n=3^n;$

b) $2n^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}.$

Lời giải:

a) $1+2C_n^1+4C_n^2+\mathrm{\dots }+2^{n-1}{C}_n^{n-1}+2^n{C}_n^n$

$=C_n^{0}1+C_n^{1}2+C_n^2{2}^2+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}{2}^{n-1}+C_n^n{2}^n$

$=C_n^0{1}^n+C_n^1{1}^{n-1}2+C_n^2{1}^{n-2}{2}^2+\mathrm{\dots }+C_n^{n-1}{\mathrm{1\hspace{0.17em}.2}}^{n-1}+C_n^n{2}^n$

= (1 + 2)ⁿ = 3ⁿ.

b) Ta có:

${(x+1)}^{2n}=C_{2n}^0{x}^{2n}+2n^1{x}^{2n-1}1+C_{2n}^2{x}^{2n-2}{1}^2+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}x{1}^{2n-1}+C_{2n}^{2n}{1}^{2n}$

$=C_{2n}^0{x}^{2n}+C_{2n}^1{x}^{2n-1}+C_{2n}^2{x}^{2n-2}+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}x+C_{2n}^{2n}.$

Cho x = –1, ta được:

${(-1+1)}^{2n}=C_{2n}^0{(-1)}^{2n}+{\mathrm{C}}_{2n}^1{(-1)}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^2{(-1)}^{2n-2}+\mathrm{\dots }+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}(-1)+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}$

$={\mathrm{C}}_{2n}^0-{\mathrm{C}}_{2n}^1+{\mathrm{C}}_{2n}^2-\mathrm{\dots }-{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}$

$\Rightarrow {\mathrm{C}}_{2n}^0-{\mathrm{C}}_{2n}^1+{\mathrm{C}}_{2n}^2-\mathrm{\dots }-{\mathrm{C}}_{2n}^{2n-1}+{\mathrm{C}}_{2n}^{2n}=0$

$\Rightarrow C_{2n}^0+C_{2n}^2+C_{2n}^4+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n}=C_{2n}^1+C_{2n}^3+C_{2n}^5+\mathrm{\dots }+C_{2n}^{2n-1}.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 1 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*.....

• Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ*: a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4....

• Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n∈ ℕ*. ....

• Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n}\le \frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n∈ ℕ* ....

• Bài 5 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Với một bình rỗng có dung tích 2 l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau: ....

• Bài 6 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x³ trong khai triển: ....

• Bài 7 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển (2x + 3)(x – 2)⁶ ....

• Bài 8 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của (1 + 2x)⁶, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần ....

• Bài 9 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Trong khai triển biểu thức (3x – 4)¹⁵ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được. ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---