Hệ trục tọa độ trong không gian là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Hệ trục tọa độ trong không gian là gì lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Nêu khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian.

Hệ trục tọa độ trong không gian là gì lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian

Trong không gian, ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau tại gốc O của mỗi trục. Gọi $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ lần lượt là các vectơ đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

+ Hệ ba trục như vậy được gọi là hệ trục tọa độ Descartes vuông góc Oxyz, hay đơn giản là hệ tọa độ Oxyz.

+ Điểm O được gọi là gốc tọa độ.

+ Các mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx) đôi một vuông góc với nhau được gọi là các mặt phẳng tọa độ.

Không gian với hệ tọa độ Oxyz còn được gọi là không gian Oxyz.

2. Ví dụ minh họa về khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Hệ tọa độ Oxyz được chọn sao cho gốc O trùng D, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các điểm A, C, D’.

a) Mặt bên DAA’D’ nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?

b) Oy có vuông góc với mặt phẳng (DAA’D’) không?

c) Mặt bên DD’C’C có vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy không?

Hướng dẫn giải

a) Mặt bên DAA’D’ nằm trong mặt phẳng tọa độ (Oxz).

b) Oy $\perp$ (Oxz) nên Oy $\perp$ (DAA’D’).

c) Mặt bên DD’C’C nằm trong mặt phẳng tọa độ (Oyz). Các mặt phẳng tọa độ đôi một vuông góc với nhau nên (DD’C’C) $\perp$ (Oxy).

Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác O.ABC có OC vuông góc với (OAB) và tam giác OAB vuông tại O, biết rằng OA = OB = OC = 1. Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz có gốc là O, các điểm A, B, C lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz và chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ đó.

Hướng dẫn giải

Vì OC vuông góc với (OAB) nên OA $\perp$ OC, OB $\perp$ OC.

Lại có tam giác OAB vuông tại O nên OA $\perp$ OB.

Do đó, OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau.

Với O là gốc tọa độ, ta vẽ các trục Ox, Oy, Oz như hình trên.

3 vectơ đơn vị trên ba trục lần lượt là $\overrightarrow{i}=\overrightarrow{OA},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{OB},\overrightarrow{k}=\overrightarrow{OC}$.

Ví dụ 3. Cho hình lập phương OABC.O’A’B’C’ cạnh bằng 3 đơn vị.

Xác định một hệ tọa độ với O là gốc các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ theo thứ tự cùng hướng với $\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OO\text{'}}$.

Hướng dẫn giải

Ta có hệ tọa độ Oxyz có gốc là O và $\overrightarrow{i}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA},\overrightarrow{j}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OC},\overrightarrow{k}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OO\text{'}}$.

3. Bài tập về khái niệm hệ trục tọa độ trong không gian

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy và ABCD là hình chữ nhật. Hệ tọa độ Oxyz được chọn sao cho gốc O trùng A, các tia Ox, Oy, Oz lần lượt chứa các điểm B, D, S.

a) Mặt bên SAD nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?

b) Oy có vuông góc với mặt bên SAB không?

c) Mặt bên SAD có vuông góc với mặt phẳng tọa độ Oxy không?

Bài 2. Một căn phòng với hệ tọa độ Oxyz được chọn như hình vẽ dưới đây:

Hãy cho biết bức tường có hình các bức tranh nằm ở trong mặt phẳng tọa độ nào? Bức tường có rèm cửa nằm trong mặt phẳng tọa độ nào?

Bài 3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA vuông góc với mặt đáy và đáy là hình chữ nhật. Biết rằng SA = 2, BC = 3, CD = 4. Vẽ hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O trùng với A, các điểm B, D, S lần lượt nằm trên các tia Ox, Oy, Oz. Chỉ ra các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ đó.

Bài 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiều cao bằng 6 cm và độ dài cạnh đáy bằng 4 cm. Lập hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với tâm của hình vuông ABCD, tia Ox chứa A, tia Oy chứa B và tia Oz chứa S. Tìm các vectơ đơn vị trên các trục tọa độ đó.

Bài 5. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông tại A và tam giác A’B’C’ vuông tại A’. Có thể lập được một hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh A, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt phẳng (ABC) và trục Oz trùng với đường thẳng AA’ hay không? Nếu có, hãy mô tả một hệ tọa độ như vậy.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hiệu của hai vectơ trong không gian

• Tọa độ của điểm trong không gian là gì

• Tọa độ của vectơ trong không gian là gì

• Khoảng biến thiên là gì

• Khoảng tứ phân vị là gì

• Phương sai là gì

---