8 Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025

Tuyển tập 8 Chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2025 chương trình sách mới được biên soạn cực sát đề chính thức giúp bạn ôn luyện môn Toán thi tốt nghiệp THPT đạt kết quả cao.

8 Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025

Xem thử Đề thi Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Đề thi thử Tốt nghiệp Toán 2025 Xem thử Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Toán

Chỉ từ 350k mua trọn bộ Chuyên đề Toán ôn thi Tốt nghiệp 2025 theo cấu trúc mới bản word có lời giải chi tiết:

• B1: gửi phí vào tk: 1053587071 - NGUYEN VAN DOAN - Ngân hàng Vietcombank (QR)
• B2: Nhắn tin tới Zalo VietJack Official - nhấn vào đây để thông báo và nhận đề thi

CHUYÊN ĐỀ 1. PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

I. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Phương trình lượng giác

1.1. Phương trình lượng giác cơ bản

a) Phương trình sin x = m (1)

• Với |m| > 1, phương trình (1) vô nghiệm.

• Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn $\left[-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right]$ sao cho α = m.

Khi đó, ta có: sin x = m ⇔ sin x = sin α ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=\pi -\alpha +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

⮚ Chú ý:

- Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình x = m:

      ✔ sin x = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (k ∈ ℤ);

      ✔ sin x = -1 ⇔ x = $-\frac{\pi }{2}+k2\pi$ (k ∈ ℤ);

      ✔ sin x = 1 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho $\sin x=\sin a°$ như sau:

$\sin x=\sin a°$ = $\left[\begin{array}{l}x=a°+k360°\\ x=180°-a°+k360°\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

b) Phương trình cos x = m (2)

• Với |m| > 1, phương trình (2) vô nghiệm.

• Với |m| ≤ 1, gọi α là số thực thuộc đoạn [0; π] sao cho cos α = m.

Khi đó, ta có: cos x = m ⇔ cos x = cos α ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=\alpha +k2\pi \\ x=-\alpha +k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

⮚ Chú ý:

- Ta có một số trường hợp đặc biệt sau của phương trình cos x = m:

      ✔ cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ ℤ);

      ✔ cos x = -1 ⇔ x = π + k2π (k ∈ ℤ);

      ✔ cos x = 1 ⇔ x = $\frac{\pi }{2}+k\pi$ (k ∈ ℤ).

- Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho $\cos x=\cos a°$ như sau:

$\cos x=\cos a°$ = $\left[\begin{array}{l}x=a°+k360°\\ x=-a°+k360°\end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

c) Phương trình tan x = m

Gọi α là số thực thuộc khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ sao cho tan α = m. Khi đó, ta có:

tan x = m ⇔ tan x = tan α ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

⮚ Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho x = $\tan a°$ như sau:

tan x = $\tan a°$ ⇔ x = $a°$ + k180° (k ∈ ℤ).

d) Phương trình cot x = m

Gọi α là số thực thuộc khoảng (0; π) sao cho cot α = m. Khi đó, ta có:

cot x = m ⇔ cot x = cot α ⇔ x = α + kπ (k ∈ ℤ).

⮚ Chú ý: Nếu x là góc lượng giác có đơn vị đo là độ thì ta có thể tìm góc lượng giác x sao cho cot x = $\cot a°$ như sau:

cot x = $\cot a°$ ⇔ x = $a°$ + k180° (k ∈ ℤ).

1.2. Phương trình lượng giác đưa về dạng cơ bản

• sin f(x) = sin g(x) ⇔ $\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=\pi -g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

• cos f(x) = cos g(x) ⇔ $\left[\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)+k2\pi \\ f\left(x\right)=-g\left(x\right)+k2\pi \end{array}\right.\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

• Với phương trình có dạng:

${\sin }^{2}u\left(x\right)={\sin }^{2}v\left(x\right)$, $\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}{\cos }^{2}u\left(x\right)={\cos }^{2}v\left(x\right)$, $\hspace{0.17em}{\sin }^{2}u\left(x\right)={\cos }^{2}v\left(x\right)$,

ta có thể dùng công thức hạ bậc để đưa về phương trình dạng cos f(x) = cos g(x).

• Với một số phương trình lượng giác, ta có thể dùng các công thức lượng giác và các biến đổi để đưa về phương trình dạng tích A(x).B(x) = 0.

2. Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

2.1. Phương trình mũ

Phương trình mũ cơ bản: a^x = b (với a > 0. a ≠ 1).

- Với b > 0, ta có a^x = b ⇔ log_ab.

- Với b ≤ 0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Một số dạng phương trình mũ thường gặp:

• Với a > 0, a ≠ 1, b > 0: $a^{f\left(x\right)}=b\iff f\left(x\right)={\log }_{a}b$.

• Nếu a > 0, a ≠ 1: $a^{f\left(x\right)}=a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)=g\left(x\right)$.

• Phương trình dạng: $a^{f\left(x\right)}=b^{g\left(x\right)}$, với a.b = 1 (1 ≠ a, b > 0) ta sẽ giải như sau:

$a^{f\left(x\right)}=b^{g\left(x\right)}$ ⇔ $a^{f\left(x\right)}={\left(\frac{1}{a}\right)}^{g\left(x\right)}={\left(a^{-1}\right)}^{g\left(x\right)}=a^{-g\left(x\right)}$ ⇔ f(x) = -g(x).

• Phương trình dạng: $m\cdot a^{2f\left(x\right)}+n\cdot a^{f\left(x\right)}+p=0$.

Ta đặt $t=a^{f\left(x\right)}$ vì $a^{f\left(x\right)}>0$ nên ta có điều kiện t > 0 đưa phương trình về dạng: $m\cdot t^2+n\cdot t+p=0$.

2.2. Phương trình lôgarit

• Phương trình lôgarit cơ bản: log_ax = b (a > 0; a ≠ 1) ⇔ x = a^b.

• Với a > 0; a ≠ 1 thì:

✔ ${\log }_{a}f\left(x\right)=b\iff f\left(x\right)=a^b$.

✔ ${\log }_{a}f\left(x\right)={\log }_{a}g\left(x\right)\iff \left\{\begin{array}{l}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\ f\left(x\right)>0\left(g\left(x\right)>0\right)\end{array}\right.$.

2.3. Bất phương trình mũ

a) Bất phương trình mũ cơ bản

• Bất phương trình mũ cơ bản: a^x > b (hoặc $a^x\ge b,a^x<b,a^x\le b$) với a > 0; a ≠ 1.

• Ta xét bất phương trình có dạng a^x > b:

- Nếu b ≤ 0, thì tập nghiệm của bất phương trình là S = ℝ vì $a^x>0\forall x\in ℝ$

- Nếu b > 0, thì ta xét 2 trường hợp của cơ số a.

    ✔ Với a > 1 thì bất phương trình $a^x>b\iff x>{\log }_{a}b$.

    ✔ Với 0 < a < 1 thì bất phương trình $a^x>b\iff x<{\log }_{a}b$.

Tương tự với bất phương trình có dạng $a^{f\left(x\right)}>b$.

- Nếu b ≤ 0, thì tập nghiệm của bất phương trình là tập xác định của f(x).

- Nếu b > 0, thì ta xét 2 trường hợp của cơ số a.

    ✔ Với a > 1thì bất phương trình $a^{f\left(x\right)}>b\iff f\left(x\right)>{\log }_{a}b$.

    ✔ Với 0 < a < 1 thì bất phương trình $a^{f\left(x\right)}>b\iff f\left(x\right)<{\log }_{a}b$.

b) Bất phương trình mũ dạng: $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}$

- Nếu a > 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)>g\left(x\right)$ (cùng chiều dấu).

- Nếu 0 < a < 1 thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff f\left(x\right)<g\left(x\right)$ (ngược chiều dấu).

- Nếu a chứa ẩn thì $a^{f\left(x\right)}>a^{g\left(x\right)}\iff \left(a-1\right)\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]>0$.

c) Giải bất phương trình mũ bằng phương pháp lôgarit hóa

Xét phương trình dạng: $a^{f\left(x\right)}>b^{g\left(x\right)}\left(*\right)$ với 1 ≠ a, b > 0.

- Nếu a > 1, lấy lôgarit hai vế ta được: (*) ⇔ ${\log }_a{a}^{f\left(x\right)}>{\log }_a{b}^{g\left(x\right)}$ ⇔ $f\left(x\right)>g\left(x\right){\log }_{a}b$.

- Nếu 0 < a < 1, lấy lôgarit hai vế ta được: (*) ⇔ ${\log }_a{a}^{f\left(x\right)}<{\log }_a{b}^{g\left(x\right)}$ ⇔ $f\left(x\right)<g\left(x\right){\log }_{a}b$.

⮚ Chú ý: Các bất phương trình mũ khác cùng loại được giải tương tự.

2.4. Bất phương trình lôgarit

a) Bất phương trình lôgarit cơ bản

• Bất phương trình lôgarit cơ bản:

log_ax > b (hoặc ${\log }_{a}x\ge b,{\log }_{a}x<b,{\log }_{a}x\le b$) với a > 0, a ≠ 1.

• Ta xét bất phương trình có dạng log_ax > b.

- Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}x>b\iff x>a^b$.

- Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}x>b\iff 0<x<a^b$.

Tương tự với bất phương trình có dạng ${\log }_{a}f\left(x\right)>b$.

- Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>b\iff f\left(x\right)>a^b$.

- Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>b\iff 0<f\left(x\right)<a^b$.

b) Bất phương trình lôgarit dạng: ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)\left(a>\mathrm{0,}a\ne 1\right)$

- Nếu a > 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ $f\left(x\right)>g\left(x\right)>0$ ⇔ $\left\{\begin{array}{c}g\left(x\right)>0\\ f\left(x\right)>g\left(x\right)\end{array}\right.$.

- Nếu 0 < a < 1 thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ $0<f\left(x\right)<g\left(x\right)$ ⇔ $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)>0\\ g\left(x\right)>f\left(x\right)\end{array}\right.$.

- Nếu a chứa ẩn thì ${\log }_{a}f\left(x\right)>{\log }_{a}g\left(x\right)$ ⇔ $\left\{\begin{array}{c}f\left(x\right)>\mathrm{0,}g\left(x\right)>0\\ \left(a-1\right)\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]>0\end{array}\right.$.

⮚ Chú ý: Các bất phương trình lôgarit khác cùng loại được giải tương tự.

II. MỘT SỐ VÍ DỤ

Dạng I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ lựa chọn một phương án.

Ví dụ 1. Phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1$ có nghiệm là

A. $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

B. $x=\frac{5\pi }{6}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

C. $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

D. $x=\frac{\pi }{3}+2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Lời giải

$\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)=1$ ⇔ $x-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k2\pi$ ⇔ $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$ (k ∈ ℤ). Chọn C.

Ví dụ 2. Nghiệm của phương trình $2^{2x-4}=2^x$ là

A. -16.

B. 16.

C. 4.

D. -4.

Lời giải

Ta có: $2^{2x-4}=2^x$ ⇔ 2x - 4 = x ⇔ x = 4. Chọn C.

Ví dụ 3. Nghiệm của phương trình log₃(x - 2) = 2 là

A. x = 11.

B. x = 10.

C. x = 7.

D. x = 8.

Lời giải

Điều kiện: x > 2.

Phương trình tương đương với x - 2 = 3² ⇔ x  = 11 (thỏa mãn). Chọn A.

Ví dụ 4. Giải bất phương trình ${\log }_2\left(3x-2\right)>{\log }_2\left(6-5x\right)$ được tập nghiệm là (a; b). Hãy tính tổng S = a + b.

A. $S=\frac{26}{5}$.

B. $S=\frac{11}{5}$.

C. $S=\frac{28}{15}$.

D. $S=\frac{8}{3}$.

Lời giải

Điều kiện $\left\{\begin{array}{l}3x-2>0\\ 6-5x>0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x>\frac{2}{3}\\ x<\frac{6}{5}\end{array}\right.\iff \frac{2}{3}<x<\frac{6}{5}$.

Ta có: ${\log }_2\left(3x-2\right)>{\log }_2\left(6-5x\right)$ ⇔ 3x - 2 > 6 - 5x ⇔ 8x > 8 ⇔ x > 1.

Kết hợp với điều kiện, ta được $1<x<\frac{6}{5}$.

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là $\left(1;\frac{6}{5}\right)$. Từ đó, S = a + b = $1+\frac{6}{5}=\frac{11}{5}$.

Lời giải ngắn gọn như sau:

${\log }_2\left(3x-2\right)>{\log }_2\left(6-5x\right)$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}3x-2>6-5x\\ 6-5x>0\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}x>1\\ x<\frac{6}{5}\end{array}\right.$ ⇔ $1<x<\frac{6}{5}$. Chọn B.

Dạng II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Ví dụ 5. Cho phương trình $2\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)+\sqrt{3}=0$.

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)$.

b) Phương trình đã cho có nghiệm là: $x=\frac{\pi }{4}+k2\pi$; $\hspace{0.17em}x=\frac{7\pi }{12}+k2\pi$ (k ∈ ℤ).

c) Phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất bằng $-\frac{\pi }{4}$.

d) Số nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng (-π;π) là hai nghiệm.

Lời giải

Ta có: $2\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)+\sqrt{3}=0$ ⇔ $\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇔ $\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)=\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)$

⇔$\left[\begin{array}{l}x-\frac{\pi }{12}=-\frac{\pi }{3}+k2\pi \\ x-\frac{\pi }{12}=\pi -\left(-\frac{\pi }{3}\right)+k2\pi \end{array}\right.$ ⇔ $\left[\begin{array}{l}x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi \\ x=\frac{17\pi }{12}+k2\pi \end{array}\left(k\in \mathbb{Z}\right)\right.$.

Vậy phương trình có nghiệm là: $x=-\frac{\pi }{4}+k2\pi$; $x=\frac{17\pi }{12}+k2\pi$ (k ∈ ℤ).

Phương trình có nghiệm âm lớn nhất bằng $-\frac{\pi }{4}$.

Số nghiệm của phương trình trong khoảng (-π;π) là hai nghiệm.

Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.

Ví dụ 6. Cho phương trình ${\log }_3\left(x+6\right)={\log }_3\left(x-1\right)+1$ (*).

a) Điều kiện xác định của phương trình: x > 1.

b) Phương trình (*) có chung tập nghiệm với phương trình $\frac{x^2-11x+9}{x-1}=0$.

c) Gọi x = a là nghiệm của phương trình (*), khi đó $\underset{x\to a}{\lim }\left(x-3\right)=\frac{5}{2}$.

d) Nghiệm của phương trình (*) là hoành độ giao điểm của đường thẳng d₁: 2x - y - 8 = 0 với đường thẳng d₂: y = 0.

Lời giải

Điều kiện: $\left\{\begin{array}{l}x+6>0\\ x-1>0\end{array}\iff x>1\right.$.

Ta có ${\log }_3\left(x+6\right)={\log }_3\left(x-1\right)+1$ ⇔ ${\log }_3\left(x+6\right)={\log }_3\left(x-1\right)+{\log }_{3}3$

⇔ ${\log }_3\left(x+6\right)={\log }_{3}3\left(x-1\right)$ => $x+6=3\left(x-1\right)$ ⇔ $x=\frac{9}{2}$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy phương trình (*) có nghiệm là $x=\frac{9}{2}$.

Giải phương trình: $\frac{x^2-11x+9}{x-1}=0$ ta được tập nghiệm là $S=\left\{\frac{11\pm \sqrt{85}}{2}\right\}$.

Ta có $\underset{x\to \frac{9}{2}}{\lim }\left(x-3\right)=\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\ne \frac{5}{2}$.

Ta có $d_1:2x-y-8=0\iff y=2x-8$.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂ là: 2x - 8 = 0 ⇔ x = 4.

Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.

Ví dụ 7. Cho bất phương trình $4^{x^2+5}\ge {\left(\frac{1}{8}\right)}^{x-x^2}$.

a) Ta có: $4^{x^2+5}=2^{2\left(x^2+5\right)};{\left(\frac{1}{8}\right)}^{x-x^2}=2^{-3\left(x-x^2\right)}$.

b) Bất phương trình đã cho tương đương với bất phương trình $2\left(x^2+5\right)\ge -3\left(x-x^2\right)$.

c) Số nghiệm nguyên của bất phương trình là 6.

d) Tích nghiệm nguyên lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là -4.

Lời giải

Ta có: $4^{x^2+5}={\left(2^2\right)}^{x^2+5}=2^{2\left(x^2+5\right)}$; ${\left(\frac{1}{8}\right)}^{x-x^2}={\left(2^{-3}\right)}^{x-x^2}=2^{-3\left(x-x^2\right)}$.Khi đó:

$4^{x^2+5}\ge {\left(\frac{1}{8}\right)}^{x-x^2}$ ⇔ $2^{2\left(x^2+5\right)}\ge 2^{-3\left(x-x^2\right)}$ ⇔ $2\left(x^2+5\right)\ge -3\left(x-x^2\right)$ ⇔ x² - 3x - 10 ≤ 0 ⇔ -2 ≤ x ≤ -5.

Vậy phương trình có 8 nghiệm nguyên.

Tích nghiệm lớn nhất và nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình là (-2).5 = -10.

Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.

................................

................................

................................

Xem thử

Xem thêm bộ chuyên đề ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2025 các môn học có đáp án hay khác:

• 14 Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Vật Lí 2025
• 1000 câu trắc nghiệm lý thuyết Vật Lí ôn thi Tốt nghiệp 2025
• 10 Chuyên đề ôn thi Tốt nghiệp Sinh học 2025
• 1200 câu trắc nghiệm lý thuyết Sinh học ôn thi Tốt nghiệp 2025
• Chuyên đề Địa Lí ôn thi Tốt nghiệp 2025
• Chuyên đề KTPL ôn thi Tốt nghiệp 2025
• Chuyên đề Lịch Sử ôn thi Tốt nghiệp 2025

---