Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức Newton

Bài 5 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học.

Lời giải:

+) Với n = 1, ta có: (a + b)¹ = a + b = $C_1^0{a}^1+C_1^1{b}^1.$

Vậy công thức đúng với n = 1.

+) Với k ≥ 1 là một số nguyên dương tuỳ ý mà công thức đúng đúng, ta phải chứng minh công thức cũng đúng với k + 1, tức là:

${(a+b)}^{k+1}=C_{k+1}^0+C_{k+1}^1{a}^{(k+1)-1}b+...+C_{k+1}^{k-1}a{b}^{(k+1)}+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:

${(a+b)}^k=C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+...+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k.$

Khi đó:

${(a+b)}^{k+1}=(a+b){(a+b)}^k$

$=a{(a+b)}^k+b{(a+b)}^k$

$=a(C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+\mathrm{\dots }+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k)$

$+b(C_k^0{a}^k+C_k^1{a}^{k-1}b+\mathrm{\dots }+C_k^{k-1}a{b}^{k-1}+C_k^k{b}^k)$

$=(C_k^0{a}^{k+1}+C_k^1{a}^{k}b+C_k^2{a}^{k-1}{b}^2+\mathrm{\dots }+C_k^{k-1}{a}^2{b}^{k-1}+C_k^{k}a{b}^k)$

$+(C_k^0{a}^{k}b+C_k^1{a}^{k-1}{b}^2+\mathrm{\dots }+C_k^{k-2}{a}^2{b}^{k-1}+C_k^{k-1}a{b}^k+C_k^k{b}^{k+1})$

$=C_k^0{a}^{k+1}+(C_k^0+C_k^1)a^{k}b+(C_k^1+C_k^2)a^{k-1}{b}^2+\mathrm{\dots }$

$+(C_k^{k-2}+C_k^{k-1})a^2{b}^{k-1}+(C_k^{k-1}+C_k^k)a{b}^k+C_k^k{b}^{k+1}$

$=1.a^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{k}b+C_{k+1}^2{a}^{k-1}{b}^2+\mathrm{\dots }+C_{k+1}^{k-1}{a}^2{b}^{k-1}+C_{k+1}^{k}a{b}^k+1.b^{k+1}$

(vì $C_k^i+C_k^{i+1}=C_{k+1}^{i+1}\forall 0\le i\le k$, i ∈ ℕ, k ∈ ℕ*)

$=C_{k+1}^0{a}^{k+1}+C_{k+1}^1{a}^{(k+1)-1}b+\mathrm{\dots }+C_{k+1}^{(k+1)-1}a{b}^{(k+1)-1}+C_{k+1}^{k+1}{b}^{k+1}.$

Vậy công thức cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, công thức đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Khám phá 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1) ....

• Thực hành 1 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Hãy khai triển: a) (x – y)⁶ ....

• Khám phá 2 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Từ các công thức khai triển: (a + b)⁰ = 1; ....

• Thực hành 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển: a) (2x + 1)⁶; ....

• Thực hành 3 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Xác định hệ số của x² trong khai triển (3x + 2)⁹ ....

• Thực hành 4 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng trong khai triển (x + a)⁶ với a là một số thực, hệ số của x⁴ là 60. Tìm giá trị của a.....

• Thực hành 5 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, ta có $C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\mathrm{\dots }+{(-1)}^n{C}_n^n=0.$ ....

• Vận dụng trang 38 Chuyên đề Toán 10: Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. ....

• Bài 1 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức: a) (x – 2y)⁶; ....

• Bài 2 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển của biểu thức (2 – x)¹² ....

• Bài 3 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)⁶, hệ số của x⁴ gấp bốn lần hệ số của x². Tìm giá trị của a ....

• Bài 4 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng hệ số của x² trong khai triển của (1 + 3x)ⁿ là 90. Tìm giá trị của n ....

• Bài 6 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷. ....

• Bài 7 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con? ....

• Bài 8 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một, ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---