Từ các công thức khai triển (a + b)^0 = 1; (a + b)^1 = a + b

Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 2: Nhị thức Newton

Khám phá 2 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Từ các công thức khai triển:

(a + b)⁰ = 1;

(a + b)¹ = a + b;

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴;

(a + b)5 = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵;

các hệ số được viết thành bảng số như Hình 2 sau đây. Nếu sử dụng kí hiệu tổ hợp thì nhận được bảng như Hình 3.

Từ các đẳng thức như

$\begin{array}{cccccccccccccccccccc}{C}_3^0=C_3^3=1,& C_4^1=C_4^3=4,& & & & & & & & & & & & & & & & & & \\ C_3^0+C_3^1=C_4^1,& C_4^2+C_4^3=C_5^3,& & & & & & & & & & & & & & & & & & \end{array}$

có thể dự đoán rằng, với mỗi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$

$C_n^k=C_n^{n-k}(0\le k\le n);$

$C_n^{k-1}+C_n^k=C_{n+1}^k(1\le k\le n).$

Hãy chứng minh các công thức trên.

Gợi ý: Sử dụng công thức $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},n\in \mathrm{\mathbb{N}},0\le k\le n.$

Lời giải:

+) Có $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},C_n^{n-k}=\frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$

Vậy $C_n^k=C_n^{n-k}.$

+) $C_n^{k-1}+C_n^k=\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}+\frac{n!}{k!(n-k)!}$

$=\frac{\frac{(n+1)!}{n+1}}{\frac{k!}{k}(n-k+1)!}+\frac{\frac{(n+1)!}{n+1}}{k!\frac{(n-k+1)!}{(n-k+1)}}=\frac{k}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k!(n-k+1)!}$

$=\frac{k}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k![(n+1)-k]!}+\frac{n-k+1}{n+1}.\frac{(n+1)!}{k![(n+1)-k]!}$

$=\frac{k}{n+1}.C_{n+1}^k+\frac{n-k+1}{n+1}.C_{n+1}^k=(\frac{k}{n+1}+\frac{n-k+1}{n+1})C_{n+1}^k$

$=\frac{k+(n-k+1)}{n+1}{C}_{n+1}^k=\frac{n+1}{n+1}{C}_{n+1}^k=C_{n+1}^k.$

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Khám phá 1 trang 34 Chuyên đề Toán 10: Có ba hộp, mỗi hộp đựng hai quả cầu được dán nhãn a và b (xem Hình 1) ....

• Thực hành 1 trang 35 Chuyên đề Toán 10: Hãy khai triển: a) (x – y)⁶ ....

• Thực hành 2 trang 37 Chuyên đề Toán 10: Sử dụng tam giác Pascal, hãy khai triển: a) (2x + 1)⁶; ....

• Thực hành 3 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Xác định hệ số của x² trong khai triển (3x + 2)⁹ ....

• Thực hành 4 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng trong khai triển (x + a)⁶ với a là một số thực, hệ số của x⁴ là 60. Tìm giá trị của a.....

• Thực hành 5 trang 38 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$, ta có $C_n^0-C_n^1+C_n^2-C_n^3+\mathrm{\dots }+{(-1)}^n{C}_n^n=0.$ ....

• Vận dụng trang 38 Chuyên đề Toán 10: Trong hộp A có 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10. Người ta lấy một số quả cầu từ hộp A rồi cho vào hộp B. ....

• Bài 1 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Khai triển biểu thức: a) (x – 2y)⁶; ....

• Bài 2 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Tìm hệ số của x¹⁰ trong khai triển của biểu thức (2 – x)¹² ....

• Bài 3 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng a là một số thực khác 0 và trong khai triển của (ax + 1)⁶, hệ số của x⁴ gấp bốn lần hệ số của x². Tìm giá trị của a ....

• Bài 4 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng hệ số của x² trong khai triển của (1 + 3x)ⁿ là 90. Tìm giá trị của n ....

• Bài 5 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh công thức nhị thức Newton (công thức (1), trang 35 ) bằng phương pháp quy nạp toán học. ....

• Bài 6 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Biết rằng (3x – 1)⁷ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + a₅x⁵ + a₆x⁶ + a₇x⁷. ....

• Bài 7 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Một tập hợp có 12 phần tử thì có tất cả bao nhiêu tập hợp con? ....

• Bài 8 trang 39 Chuyên đề Toán 10: Từ 15 bút chì màu có màu khác nhau đôi một, ....

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều

---