Chứng minh với mọi n thuộc N sao, (1 + căn bậc hai 2)^n, (1- căn bậc hai 2)^n
Giải Chuyên đề Toán 10 Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
Luyện tập 2 trang 26 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*,, lần lượt viết được ở dạng , trong đó an, bn là các số nguyên dương.
Lời giải:
+) Khi n = 1, ta có:
a1 = 1, b1 = 1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: viết được dưới dạng trong đó ak + 1, bk + 1 là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
với ak, bk là các số nguyên dương.
Khi đó:
Vì ak, bk là các số nguyên dương nên ak + 2bk và ak + bk cũng là các số nguyên dương.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
+) Theo chứng minh trên ta có:
Với mọi n ∈ ℕ* thì = với an, bn là các số nguyên dương.
Chứng minh tương tự ta được:
Với mọi n ∈ ℕ* thì = với cn, dn là các số nguyên dương.
Giờ ta chứng minh an = cn và bn = dn với mọi n ℕ*.
Cách 1:
Xét mệnh đề P(n): an = cn và bn = dn với mọi n ∈ ℕ*.
+) Khi n = 1, ta có:
a1 = 1, b1 = 1.
c1 = 1, d1 = 1.
Vậy a1 = c1, b1 = d1.
Vậy mệnh đề P(n) đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề P(n) cũng đúng với k + 1, tức là: ak + 1 = ck + 1 và bk + 1 = dk + 1.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: ak = ck và bk = dk (1).
Mặt khác:
ak + 1 = ak + 2bk, bk + 1 = ak + bk (2).
nên ck + 1 = ck + 2dk, dk + 1 = ck + dk (3)
Từ (1), (2) và (3) ta suy ra ak + 1 = ck + 1 và bk + 1 = dk + 1.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy bài toán đã được chứng minh.
Cách 2:
Ta có:
Từ (2) ta suy ra với k > 0 (vì an, bn, cn, dn là các số nguyên dương)
Thế vào (1) ta được:
an = cn và bn = dn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Cánh diều hay, chi tiết khác:
Bài 2 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Cho và , với n ∈ ℕ*
a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3 ....Bài 6 trang 29 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh nn > (n + 1)n - 1 với n ∈ ℕ*, n ≥ 2 ....
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CD
- Giải Toán lớp 10 - CD
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CD
- Giải Vật lí lớp 10 - CD
- Giải Hóa học lớp 10 - CD
- Giải Sinh học lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CD
- Giải Địa lí lớp 10 - CD
- Giải Lịch sử lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - CD
- Giải Tin học lớp 10 - CD