Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 38 Chuyên đề Toán 12: (Định luật khúc xạ ánh sáng)

Gọi v_kk là vận tốc ánh sáng trong không khí và v_n là vận tốc ánh sáng trong nước. Theo nguyên lí Fermat, một tia sáng di chuyển từ một điểm A trong không khí đến một điểm B trong nước theo đường gấp khúc APB sao cho tổng thời gian di chuyển là nhỏ nhất (H.2.13). Vận dụng đạo hàm tìm cực trị của hàm số T(x) (tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB) để chứng tỏ rằng khi T(x) nhỏ nhất thì góc tới i và góc khúc xạ r thoả mãn phương trình $\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_{kk}}{v_n}.$

Phương trình này được gọi là Định luật Snell.

Lời giải:

Từ hình vẽ, với 0 ≤ x ≤ c ta có: $AP=\sqrt{a^2+x^2}$  và $PB=\sqrt{b^2+{\left(c-x\right)}^2}.$

Thời gian ánh sáng di chuyển từ A đến P là: $t_1=\frac{AP}{v_{kk}}=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_{kk}}.$

Thời gian ánh sáng di chuyển từ P đến B là: $t_2=\frac{PB}{v_n}=\frac{\sqrt{b^2+{\left(c-x\right)}^2}}{v_n}.$

Khi đó, tổng thời gian tia sáng đi từ A đến B theo đường gấp khúc APB là:

$T\left(x\right)=t_1+t_2=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_{kk}}+\frac{\sqrt{b^2+{\left(c-x\right)}^2}}{v_n}.$

Xét hàm số $T\left(x\right)=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_{kk}}+\frac{\sqrt{b^2+{\left(c-x\right)}^2}}{v_n}$  trên đoạn [0; c].

Đạo hàm của hàm T(x) là: $T^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{x}{v_{kk}\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{c-x}{v_n\sqrt{b^2+{\left(c-x\right)}^2}}.$

Ta có $T^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff \frac{x}{v_{kk}\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{c-x}{v_n\sqrt{b^2+{\left(c-x\right)}^2}}=0$

$\iff \frac{1}{v_{kk}}\cdot \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{1}{v_n}\cdot \frac{c-x}{\sqrt{b^2+{\left(c-x\right)}^2}}$

$\iff \frac{1}{v_{kk}}\cdot \sin i=\frac{1}{v_n}\cdot \sin r\iff \frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_{kk}}{v_n}.$

Giả sử x = x₀ thỏa mãn $\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_{kk}}{v_n}.$

Vận dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn, ta có:

$T\left(0\right)=\frac{a}{v_{kk}}+\frac{\sqrt{b^2+c^2}}{v_n};T\left(x_0\right)=\frac{\sqrt{a^2+x_0^2}}{v_{kk}}+\frac{\sqrt{b^2+{\left(c-x_0\right)}^2}}{v_n};T\left(c\right)=\frac{\sqrt{a^2+c^2}}{v_{kk}}+\frac{b}{v_n}.$

Ta có T(x₀) là giá trị nhỏ nhất trong các giá trị T(0), T(x₀), T(c).

Vậy T(x) nhỏ nhất khi góc tới i và góc khúc xạ r thỏa mãn phương trình $\frac{\sin i}{\sin r}=\frac{v_{kk}}{v_n}.$

Lời giải bài tập Chuyên đề Toán 12 Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết một số bài toán tối ưu hay, chi tiết khác:

• HĐ1 trang 35 Chuyên đề Toán 12: Một người đánh cá đang ở trên thuyền (vị trí A) cách bờ biển (điểm P) 2 km về phía đông trên đường bờ biển thẳng theo phương bắc nam ....

• Luyện tập 1 trang 37 Chuyên đề Toán 12: Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc α so với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu v₀ = 9 m/s (H.2.10).....

• Luyện tập 3 trang 40 Chuyên đề Toán 12: Một doanh nghiệp tư nhân A chuyên kinh doanh xe gắn máy các loại. Hiện nay, doanh nghiệp đang tập trung chiến lược kinh doanh một loại xe máy với chi phí mua vào là ....

• Luyện tập 4 trang 42 Chuyên đề Toán 12: Biết rằng C(x) = 16 000 + 500x – 1,64x² + 0,004x³ là hàm chi phí và p(x) = 1 700 – 7x là hàm cầu của x đơn vị hàng hóa....

• Bài 2.6 trang 42 Chuyên đề Toán 12: Một cửa sổ có dạng phía dưới là hình chữ nhật, phía trên là nửa hình tròn có đường kính bằng chiều rộng của hình chữ nhật (H.2.17). ...

• Bài 2.7 trang 42 Chuyên đề Toán 12: Người ta muốn kéo một đường dây điện từ nhà máy điện đặt tại điểm A đến một hòn đảo nhỏ C. Biết rằng nhà máy điện nằm sát bờ biển....

• Bài 2.8 trang 43 Chuyên đề Toán 12: Một xe khách tuyến có sức chứa tối đa là 60 hành khách. Nếu chuyến xe chở x hành khách thì giá cho mỗi hành khách là ...

• Bài 2.9 trang 43 Chuyên đề Toán 12: Một công ty dự kiến chi 1 tỉ đồng sản xuất các thùng đựng sơn hình trụ với dung tích 5 ℓ. ...

• Bài 2.10 trang 43 Chuyên đề Toán 12: Giả sử C(x) = 18 000 + 500x – 1,6x² + 0,004x³ (nghìn đồng) là hàm chi phí và p(x) = 1 500 – 3x (nghìn đồng) là hàm cầu của x đơn vị một loại hàng hoá nào đó.....

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 2

• Chuyên đề Toán 12 Bài 5: Tiền tệ. Lãi suất

• Chuyên đề Toán 12 Bài 6: Tín dụng. Vay nợ

• Chuyên đề Toán 12 Bài 7: Đầu tư tài chính. Lập kế hoạch tài chính cá nhân

• Chuyên đề Toán 12 Bài tập cuối chuyên đề 3

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---