Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD

Giải sách bài tập Toán 8 Bài 12: Hình bình hành - Kết nối tri thức

Bài 3.19 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC không vuông tại A. Dựng bên ngoài tam giác đó hai tam giác ABD, ACE vuông cân tại đỉnh A rồi dựng hình bình hành AEID.

a) Chứng minh hai tam giác ABC và DAI bằng nhau.

b) Chứng minh đường thẳng AI vuông góc với BC.

c) Chứng minh đường thẳng BE vuông góc với đường thẳng CD.

d) Gọi K là trung điểm của BD, chứng minh KC = KI và KC vuông góc với KI. (Gợi ý: Chứng minh hai tam giác AKI và BKC bằng nhau).

Lời giải:

a) Hình bình hành AEID có $\widehat{ADI}+\widehat{DAE}=180°$(hai góc kề một cạnh của hình bình hành)

Ta có: $\widehat{DAE}+\widehat{DAB}+\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=360°$

Mà ∆ABD vuông tại A, ∆ACE vuông tại A, suy ra 

Suy ra $\widehat{BAC}+\widehat{DAE}=360°-90°-90°=180°$

Vậy $\widehat{ADI}=\widehat{BAC.}$

Do ∆ABD vuông cân tại A nên AD = AB

∆ACE vuông cân tại A nên AC = AE

Mà AEID là hình bình hành nên AE = DI, do đó DI = AC.

Xét ∆ADI và ∆BAC có

AD = AB, , DI = AC (chứng minh trên)

Suy ra ∆ADI = ∆BAC (c.g.c).

b) Giả sử AI cắt BC ở H .

Ta có: $\widehat{DAI}+\widehat{DAB}+\widehat{BAH}=180°$, mà $\widehat{DAB}=90°$(do ∆DAB vuông cân tại A)

Suy ra $\widehat{DAI}+\widehat{BAH}=90°$

Mà $\widehat{DAI}=\widehat{ABC}$(do ∆ADI = ∆BAC) nên $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}=90°$

Trong ∆ABH có: $\widehat{ABH}+\widehat{BAH}+\widehat{AHB}=180°$

Suy ra $\widehat{AHB}=180°\left(\widehat{ABH}+\widehat{BAH}\right)=180°-90°=90°$ hay AI ⊥ BC.

c) Ta có $\widehat{BAE}=\widehat{BAC}+\widehat{CAE}=\widehat{BAC}+90°$ và $\widehat{DAC}=\widehat{BAC}+\widehat{BAD}=\widehat{BAC}+90°$

Do đó $\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$

Xét ∆BAE và ∆DAC có:

AB = AD; $\widehat{BAE}=\widehat{DAC}$; AC = AE

Do đó ∆BAE = ∆DAC (c.g.c)

Suy ra $\widehat{EBA}=\widehat{CDA}$

Gọi J là giao của DC và BE, ta có $\widehat{JBA}=\widehat{JDA}.$

Gọi P là giao điểm của AB và CD.

Tam giác ADP vuông tại A nên $\widehat{PDA}+\widehat{DPA}=90°$

Mà $\widehat{PDA}=\widehat{JBP}$ và $\widehat{DPA}=\widehat{BPJ}$ (đối đỉnh)

Do đó $\widehat{JBP}+\widehat{BPJ}=90°$, suy ra $\widehat{PJB}=90°$ hay CD vuông góc với BE.

d) Tam giác ABD vuông cân tại A nên AK vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao, đường phân giác. Do đó $\widehat{DAK}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}=45°$

Khi đó $\widehat{ABK}=\widehat{BAK}=45°$ nên DABK vuông cân tại K, do đó KA = KB

Ta có: $\widehat{KAI}=\widehat{DAK}+\widehat{DAI}=45°+\widehat{DAI}=45°+\widehat{ABC}$

Mặt khác $\widehat{KBC}=\widehat{ABK}+\widehat{ABC}=45°+\widehat{ABC}$ (do DABD vuông cân tại A nên $\widehat{ABK}=45°)$

Do đó $\widehat{KAI}=\widehat{KBC}$.

Xét DAKI và ∆BKC có:

AK = BK, $\widehat{KAI}=\widehat{KBC}$, AI = BC (do ∆ADI = ∆BAC)

Suy ra ∆AKI = ∆BKC (c.g.c) nên KI = KC và 

Ta có: $\widehat{AKC}+\widehat{BKC}=90°$

Mà $\widehat{AKI}=\widehat{BKC}$ nên $\widehat{AKC}+\widehat{AKI}=90°$ hay $\widehat{IKC}=90°$ nên KI và KC vuông góc.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 12: Hình bình hành hay khác:

• Bài 3.12 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Xét hai hình bình hành MNBA và MNCB ...

• Bài 3.13 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng tổng hai cạnh bên của hình thang lớn hơn hiệu hai đáy của nó ...

• Bài 3.14 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD với góc A tù. Dựng bên ngoài hình bình hành đó các tam giác đều ABE và DAF ...

• Bài 3.15 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng nếu hai góc kề của mỗi cạnh của một tứ giác đều là hai góc bù nhau thì tứ giác đó là một hình bình hành ...

• Bài 3.16 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình thang ABCD với hai đáy AB, CD. Gọi K là trung điểm của BC ...

• Bài 3.17 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A, B nằm bên trong góc xOy (không bẹt). Tìm điểm D thuộc tia Ox ...

• Bài 3.18 trang 37 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD. Lấy các điểm E thuộc AB, F thuộc CD sao cho AE = CF ...

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 13: Hình chữ nhật

• SBT Toán 8 Bài 14: Hình thoi và hình vuông

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 3

• SBT Toán 8 Bài 15: Định lí Thalès trong tam giác

• SBT Toán 8 Bài 16: Đường trung bình của tam giác

Săn SALE shopee tháng 12-6:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---