Công thức tọa độ trọng tâm tam giác (siêu hay)

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tọa độ trọng tâm tam giác (siêu hay)

1. Công thức

Cho tam giác ABC có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C). Nếu G(x_G; y_G; z_G) là trọng tâm tam giác ABC thì

x_G = $\frac{x_A+x_B+x_C}{3}$; y_G = $\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$; z_G = $\frac{z_A+z_B+z_C}{3}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC có A(1; 1; −1), B(0; 1; 2), C(1; 1; 2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ G(x_G; y_G; z_G), ta có:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{1+0+1}{3}\\ y_G=\frac{1+1+1}{3}\\ z_G=\frac{-1+2+2}{3}\end{array}\right.$ ⇔ $\left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{2}{3}\\ y_G=1\\ z_G=1\end{array}\right.$.

Vậy G$\left(\frac{2}{3};1;1\right)$.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC có A(1; 2; −3), B(2; 3; 1), G(4; 2; −1). Biết G là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm C.

Hướng dẫn giải

Gọi C có tọa độ (x_C; y_C; z_C).

Vì G là trọng tâm tam giác ABC, nên ta có:

$\left\{\begin{array}{l}4=\frac{1+2+x_C}{3}\\ 2=\frac{2+3+y_C}{3}\\ -1=\frac{-3+1+z_C}{3}\end{array}\right.$ ⇒ $\left\{\begin{array}{l}{x}_C=9\\ y_C=1\\ z_C=-1\end{array}\right.$.

Vậy C(9; 1; −1).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1.

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(−1; 2; 6), B(−1; −3; −4), C(−1; 5; 0). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

Bài 2.  Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Biết A(0; 2; 1), B(1; −1; 2), G(1; 1; 1). Tính tọa độ điểm C của tam giác ABC.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3), B(2; −1; 1), C(3; 3; −3) và A', B', C' thỏa mãn $\overrightarrow{A\text{'}A}+\overrightarrow{B\text{'}B}+\overrightarrow{C\text{'}C}=\overrightarrow{0}$. Biết G' là trọng tâm tam giác A'B'C'. Tìm tọa độ điểm G'.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(3; 5; −1), B(7; a; 1), C(8; 2; b). Xác định a, b để G(6; 4; 1) là trọng tâm tam giác ABC.

Bài 5. Cho tam giác ABC có A(−2; 1; 0), B(0; 2; 5), C(5; 0; 2). M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC. Tìm trọng tâm G của tam giác AMN.

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

• Công thức tính tích có hướng của hai vectơ

• Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

• Các công thức về tính chất của nguyên hàm

---