Công thức tính tích có hướng của hai vectơ (siêu hay)

Công thức tính tích có hướng của hai vectơ Toán 12 sẽ giúp học sinh lớp 12 nắm vững công thức, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi Toán 12.

Công thức tính tích có hướng của hai vectơ (siêu hay)

1. Công thức

• Ta có định lí sau:

Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) không cùng phương.

Khi đó, vectơ $\overrightarrow{w}$ = (y₁z₂ – y₂z₁; z₁x₂ – z₂x₁; x₁y₂ – x₂y₁) vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

• Nhận xét:

+ Vectơ $\overrightarrow{w}$ trong định lí trên được gọi là tích có hướng của hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$, kí hiệu là $\overrightarrow{w}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$.

+ Để thuận tiện trong cách viết, ta quy ước: $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|$ = ad – bc, với a, b, c, d là các số thực.

Khi đó, với hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (x₁; y₁; z₁) và $\overrightarrow{v}$ = (x₂; y₂; z₂) ta có:

+ Hai vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ không cùng phương khi và chỉ khi vectơ $\overrightarrow{w}=\left[\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right]$ ≠ $\overrightarrow{0}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; 2; 3) và $\overrightarrow{v}$ = (3; −2; 4). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy $\overrightarrow{w}$ = (14; 5; −8) khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 0; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (0; −2; 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{c}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Hướng dẫn giải

Ta có

Vậy $\overrightarrow{c}$ = (6; −5; −2) khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (1; 2; −3) và $\overrightarrow{v}$ = (−3; −2; 4). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (2; 0; 5) và $\overrightarrow{b}$ = (3; −2; −5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{c}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$ = (−1; −2; 3) và $\overrightarrow{b}$ = (4; −2; 7). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{u}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}$ = (0; 4; −3) và $\overrightarrow{v}$ = (−3; 0; 4). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Bài 5. Tính tích có hướng của các cặp vectơ sau:

a) $\overrightarrow{a}$ = (1; −2; 0) và $\overrightarrow{b}$ = (0; −2; 3).

b) $\overrightarrow{u}$ = (0; 4; −2) và $\overrightarrow{v}$ = (−3; 5; 4).

c) $\overrightarrow{a}$ = (0; −2; 5) và $\overrightarrow{b}$ = (4; 1; 3).

Xem thêm các Công thức Toán lớp 12 quan trọng hay khác:

• Công thức tính khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

• Công thức tính phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

• Các công thức về tính chất của nguyên hàm

• Công thức nguyên hàm của một số hàm số sơ cấp

• Các công thức về tính chất của tích phân

---