15 Bài tập Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp (Trắc nghiệm Toán lớp 10 có đáp án) - Kết nối tri thức

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách chọn lần lượt 3 trong 5 màu để tô 3 nước khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.

Vậy số cách chọn là $A_5^3$ = 60 (cách)

Đáp án đúng là: A

Mỗi cách xếp 5 người thành một hàng dọc là một hoán vị của 5 người đó. Vậy số cách xếp 5 người thành một hàng dọc là: 5! = 120

Đáp án đúng là: C

Mỗi cách chọn ra 4 học sinh trong 15 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 15 phần tử. Vậy số cách chọn ra 4 học sinh là: $C_{15}^4$ = 1365 (cách).

Đáp án đúng là: A

Công đoạn 1, chọn giáo viên

Mỗi cách chọn 2 giáo viên trong 5 giáo viên là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy số cách chọn ra 2 giáo viên là: $C_5^2$ = 10.

Công đoạn 2, chọn học sinh

Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 6 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử. Vậy số cách chọn ra 3 học sinh là: $C_6^3$ = 20

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân số cách chọn một hội đồng gồm 2 giáo viên và 3 học sinh là: 10.20 = 200 (cách)

Đáp án đúng là: A

Giả sử ta có 2 điểm A, B phân biệt thì có một đoạn thẳng AB (đoạn thẳng AB và đoạn thẳng BA là một)

Vì cứ chọn 2 điểm bất kỳ trong 10 điểm ta được một đoạn thẳng nên mỗi cách chọn ra 2 điểm trong 10 điểm là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử. Vậy số đoạn thẳng được tạo thành từ 10 điểm phân biệt khác nhau là $C_{10}^2$ = 45 (đoạn thẳng)

Đáp án đúng là: D

Vì chọn ra 4 bạn trong đó có bạn An nên ta cần chọn thêm 3 bạn trong 11 bạn học sinh còn lại

Mỗi cách chọn 3 trong 11 học sinh là một tổ hợp chập 3 của 11 phần tử. Vậy số cách chọn  4 em đi trực nhật trong đó phải có An là $C_{11}^3$= 165 (cách chọn)

Đáp án đúng là: B

Trường hợp 1, A đứng đầu và F đứng cuối hàng.

Vậy ta xếp 4 người B, C, D, E vào 4 vị trí ở giữa A và F. Mỗi cách xếp 4 người B, C, D, E vào 4 vị trí là một hoán vị của 4 phần tử, số cách xếp là 4! = 24 (cách)

Trường hợp 2, F đứng đầu và A đứng cuối hàng.

Vậy ta xếp 4 người B, C, D, E vào 4 vị trí ở giữa A và F. Mỗi cách xếp 4 người B, C, D, E vào 4 vị trí là một hoán vị của 4 phần tử, số cách xếp là 4! = 24 (cách)

Vậy, áp dụng quy tắc cộng ta có số cách sắp xếp 6 người A, B, C, D, E. F thành một hàng dọc thoả mãn A và F đứng đầu và cuối hàng là : 24 + 24 = 48 (cách)

Đáp án đúng là: C

Vì xếp 3 bạn nam luôn ngồi cạnh nhau nên ta coi 3 bạn nam là một vị trí xếp. Vậy ta còn 4 vị trí để xếp. Mỗi cách xếp 4 vị trí này là một hoán vị của 4 phần tử. Vậy số cách xếp 4 vị trí là: 4! = 24 (cách)

Ngoài 4 vị trí xếp trên trong nhóm 3 bạn nam ta cũng xếp 3 bạn vào 3 vị trí số cách xếp này là 3! = 12 (cách)

Tổng kết, áp dụng quy tắc nhân ta có số cách xếp 3 bạn nam và 3 bạn nữ ngồi thành một hàng ngang thoả mãn 3 bạn nam ngồi cạnh nhau là: 12.24 = 288 (cách)

Đáp án đúng là: B

Ta có số cách xếp sách văn là 5! cách xếp

Số cách xếp sách Toán là 7! cách xếp

Trường hợp 1, sách Văn đứng trước sách Toán ta có số cách xếp là 5!.7! cách xếp

Trường hợp 2, sách Toán đứng trước sách Văn ta có số cách xếp là 7!.5! cách xếp

Tổng kết, áp dụng quy tắc cộng ta có số cách xếp 5 sách Văn khác nhau và 7 sách Toán khác nhau trên một kệ sách dài sao cho sách Văn phải xếp kề nhau và sách Toán xếp kề nhau là 5!.7! + 7!.5! = 2.5!.7!

Đáp án đúng là: C

Đa giác có n cạnh (n $\in$ℕ, n ≥ 3)

Số đường chéo trong đa giác là: $C_n^2$– n.

Ta có:

$C_n^2-n=2n\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}=3n$

$\iff \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\mathrm{...1}}{2(n-2)(n-3)\mathrm{...1}}=3n$

⇔ n(n – 1) = 6n ⇔ $\left[\begin{array}{l}n=7\\ n=0\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện n = 7 thoả mãn điều kiện.

Đáp án đúng là: A

Điều kiện: n $\in$ℕ, n ≥ 2.

Ta có

$A_n^2=110\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}=110$

$\iff \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)\mathrm{...1}}{(n-2)(n-3)\mathrm{...1}}=110$

$\iff$ n(n – 1) = 110 $\iff$ n² – n – 110 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=11\\ n=-10\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện của n ta có n = 11 thoả mãn điều kiện đề bài.

Đáp án đúng là: C

Điều kiện n $\in$ℕ, n ≥ 2.

Ta có $3C_{n+1}^3-3A_n^2=52\left(n-1\right)$$\iff 3\frac{\left(n+1\right)!}{3!\left(n-2\right)!}-3\frac{n!}{\left(n-2\right)!}=52\left(n-1\right)$

$\iff 3\frac{(n+1)n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{\mathrm{3.2.1.}(n-2)\mathrm{...1}}-3\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{(n-2)(n-3)\mathrm{...1}}=52(n-1)$

$\iff \frac{\left(n+1\right)n\left(n-1\right)}{2}-3n\left(n-1\right)=52\left(n-1\right)$

$\iff$(n + 1)n – 6n = 104

$\iff$ n² – 5n – 104 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=13\\ n=-8\end{array}\right.$

Kết hợp điều kiện ta có n = 13 thoả mãn điều kiện đầu bài.

Đáp án đúng là: B

Có 21 bạn nam và 20 bạn nữ nên để nam nữ xen kẽ thì chỉ có thể nam đứng đầu hàng.

- Số cách xếp để nam là 21! cách xếp

- Số cách xếp để nữ là 20! cách xếp

Áp dụng quy tắc nhân, số cách xếp 21 bạn nam và 20 bạn nữ nên để nam nữ xen kẽ là : 21!.20! = P₂₀.P₂₁

Đáp án đúng là: B

Gọi số người là n (n ∈ ℕ, n ≥ 2), vì cứ hai người sẽ có 1 lần bắt tay nên ta chọn 2 người bất kỳ trong n người sẽ được một lần bắt tay. Ta có

$C_n^2$ = 66 ⇔ $\frac{n!}{\left(n-2\right)!.2!}$ = 66 ⇔ $\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{2(n-2)\mathrm{...1}}$ = 66

⇔ n(n – 1) = 132

⇔ n² – n – 132 = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}n=12\\ n=-11\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn.

Đáp án đúng là: A

Ta có $A_n^2-C_{n+1}^{n-1}=4n+6$

$\iff \frac{n!}{\left(n-2\right)!}-\frac{\left(n+1\right)!}{2!\left(n-1\right)!}=4n+6$

$\iff$ 2(n – 1)n – n(n + 1) = 8n + 12

$\iff \left[\begin{array}{l}n=12\\ n=-1\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện n = 12 thoả mãn điều kiện đề bài.