15 Bài tập Nhi thức Newton (Trắc nghiệm Toán lớp 10 có đáp án) - Kết nối tri thức

Đáp án đúng là: C

Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 số hạng.

Trong khai triển (a + 2)^{n + 6} (n $\in$ ℕ) có tất cả 17 số hạng nên ta có n + 6 = 16.

Vậy n = 10.

Đáp án đúng là: C

Ta có tổng số mũ của a, b trong mỗi hạng tử khi khai triển (a + b)ⁿ luôn bằng n.

Vậy tổng số mũ của a và b trong mỗi hạng tử khi khai triển biểu thức (a + b)⁷ bằng 7.

Đáp án đúng là: C

Vì trong khai tiển (a + b)ⁿ thì trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b luôn bằng n Do đó, thay a = 5x, b = - 6y² thì tổng số mũ của a và b bằng 9. Đáp án C đúng

Đáp án đúng là: A

Ta có trong khai triển (a + b)ⁿ có n + 1 hạng tử.

Vậy trong khai triển (2x + y)⁶ có 7 hạng tử.

Đáp án đúng là: C

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 3, b = - x và n = 9 vào trong công thức ta có $C_9^k$3^{9 – k} .(-x)^k =

(- 1)^k$C_9^k$3^{9 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x⁷ nên ta có x^k = x⁷ $\Rightarrow$ k = 7

Hệ số của x⁷ trong khai triển là (-1)⁷$C_9^7$.3² = - 324.

Đáp án đúng là: C

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = x và n = 12 vào trong công thức ta có $C_{12}^k$1^{12 – k} .(x)^k = $C_{12}^k$1^{12 – k} .(x)^k

Vì tìm hệ số của x⁵ nên ta có x^k = x⁵ $\Rightarrow$k = 5

Hệ số của x⁵ trong khai triển là => $C_{12}^5$.1⁷ = 792.

Đáp án đúng là: D

Ta có khai triển

(2a – 1)⁶ = $C_6^0$(2a)⁶(- 1)⁰ +  $C_6^1$(2a)⁵(- 1)¹ + $C_6^2$(2a)⁴(- 1)² + $C_6^3$(2a)³(- 1)³ + $C_6^4$(2a)²(- 1)⁴ + $C_6^5$(2a)¹(- 1)⁵ + $C_6^6$(2a)⁰(- 1)⁶
= 64a⁶ – 192a⁵ + 240a⁴ – 160a³ + 60a² – 12a + 1

Vậy 3 số hạng đầu của khai triển là 64a⁶ – 192a⁵ + 240a⁴

Đáp án đúng là: B

Khai triển nhị thức

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 3x, b = - y vào trong công thức ta có

$C_n^k$(3x)^{7 – k} .(- y)^k = (- 1)^k$C_n^k$(3x)^{7 – k} .(y)^k

Số hạng cần tìm chứa x⁴y³ nên ta có x^{7 – k}y^k = x⁴y³

Vậy k = 3 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (- 1)³$C_7^3$(3)^{7 – 3}x⁴ y³ = - 2835x⁴ y³

Đáp án đúng là: D

Ta có ${\left(x+\frac{8}{x^2}\right)}^9$ Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x, b = $\frac{8}{x^2}$ vào trong công thức ta có

$C_9^k$(x)^{9 – k} .${\left(\frac{8}{x^2}\right)}^k$ = 8^k$C_9^k\frac{x^{9-k}}{x^{2k}}$ = 8^k$C_9^k$x^9-3k

Số hạng cần tìm không chứa x nên ta có 9 – 3k = 0

Vậy k = 3 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (8)³$C_9^3$= 43008

Đáp án đúng là: D

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 2x, b = - 1 vào trong công thức ta có

$C_{10}^k$(2x)^{10 – k} .(- 1)^k = (-1)^k(2)^10-k$C_{10}^k$(x)^{10 – k}

Số hạng cần tìm chứa x⁸ nên ta có 10 – k = 8

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Khi đó hệ số cần tìm là (- 1)²(2)⁸$C_{10}^2$= 11520.

Đáp án đúng là: C

Khai triển nhị thức

(2x + 3)⁴ = $C_4^0$(2x)⁴(3)⁰ +  $C_4^1$(2x)³(3)¹ + $C_4^2$(2x)²(3)² + $C_4^3$(2x)¹(3)³ + $C_4^4$(2x)⁰(3)⁴ = 16x⁴ + 96x³ + 216x² + 216x + 81.

Đáp án đúng là: A

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = 1, b = - 3x vào trong công thức ta có

$C_n^k$(1)^{n – k} .(- 3x)^k = (-3)^k(1)^n-k$C_n^k$(x)^k

Số hạng cần tìm chứa x² nên ta có k = 2

Vậy k = 2 thoả mãn bài toán

Vì hệ số chứa x² bằng 90 nên

(-3)²(1)^n-2$C_n^2$ = 90 $\iff C_n^2=10$

$\iff \frac{n!}{2!(n-2)!}=\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{2(n-2)\mathrm{...1}}=10$

$\iff \frac{n(n-1)}{2}=10$ $\iff$ n² – n – 20 = 0 $\iff \left[\begin{array}{l}n=5\\ n=-4\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện n = 5 thoả mãn bài toán.

Đáp án đúng là: D

Ta có: $A_n^2-C_n^2=105\frac{n!}{\left(n-2\right)!}-\frac{n!}{2!\left(n-2\right)!}=105$

$\iff \frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{(n-2)\mathrm{...1}}-\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{2.(n-2)\mathrm{...1}}=105$

⇔ n(n – 1) – $\frac{1}{2}$n(n – 1) = 105

⇔ $\frac{1}{2}$n(n – 1) = 105

⇔ n² – n – 210 = 0

⇔ $\left[\begin{array}{l}n=15\\ n=-14\left(L\right)\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện n = 15 thoả mãn

Nhị thức ${\left(x^2-\frac{1}{x}\right)}^n$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là$C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a = x², b = $\left(-\frac{1}{x}\right)$vào trong công thức ta có

$C_{15}^k$(x²)^{15 – k}${\left(-\frac{1}{x}\right)}^k$ = (- 1)^k$C_{15}^k\frac{x^{30-2k}}{x^k}$ = (-1)^k$C_{15}^k$(x)^{30 – 3k}

Số hạng cần tìm không chứa x  nên ta có 30 – 3k = 0

Vậy k = 10 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển là: (- 1)¹⁰$C_{15}^{10}$= 3003

Đáp án đúng là: A

Ta có $C_n^1+C_n^2=55$

$\iff \frac{n!}{1!(n-1)!}+\frac{n!}{2!(n-2)!}=55$

$\iff \frac{n(n-1)\mathrm{...1}}{(n-1)\mathrm{...1}}+\frac{n(n-1)(n-2)\mathrm{...1}}{2(n-2)\mathrm{...1}}=55$

$\iff n+\frac{n\left(n-1\right)}{2}=55$

$\iff$n² + n – 110 = 0$\iff \left[\begin{array}{l}n=10\\ n=-11\end{array}\right.$

Kết hợp với điều kiện n = 10 thoả mãn bài toán.

Nhị thức ${\left(x^3+\frac{2}{x^2}\right)}^n$

Ta có công thức số hạng tổng quát trong khai triển (a + b)ⁿ là $C_n^k$a^{n – k} .b^k (k ≤ n)

Thay a =x³, b = $\frac{2}{x^2}$ vào trong công thức ta có

$C_{10}^k$(x³)^{10 – k}${\left(\frac{2}{x^2}\right)}^k$ = 2^k$C_{10}^k\frac{x^{30-3k}}{x^{2k}}$ = (2)^k$C_{15}^k$(x)^{30 – 5k}

Số hạng cần tìm hệ số chứa x⁵ nên ta có 30 – 5k = 5

Vậy k = 5 thoả mãn bài toán

Vậy hệ số của số hạng chứa x⁵ trong khai triển là: (2)⁵$C_{10}^5$ = 8064.

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^4=x^4+4\cdot x^3\cdot \frac{1}{x}$$+6\cdot x^2\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^2+4\cdot x\cdot {\left(\frac{1}{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{x}\right)}^4$$=x^4+4\cdot x^2+6+4\cdot \frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^4}.$

a) Hệ số của $x^2$ là 4.

b) Số hạng không chứa x là 6.

c) Hệ số của $x^4$ là 1.

d) Sau khi khai triển, biểu thức có 5 số hạng.

Đáp án:

a) Sai;

b) Đúng;

c) Đúng;

d) Đúng.

${\left(3x^3-2\right)}^5={\left(3x^3\right)}^5+5\cdot {\left(3x^3\right)}^4\cdot \left(-2\right)+10\cdot {\left(3x^3\right)}^3\cdot {\left(-2\right)}^2$$+10\cdot {\left(3x^3\right)}^2\cdot {\left(-2\right)}^3+5\cdot \left(3x^3\right)\cdot {\left(-2\right)}^4+{\left(-2\right)}^5.$

$=243x^{15}-810x^{12}+1080x^9-720x^6+240x^3-32.$

Hệ số của số hạng chứa $x^6$ là -720.

Trả lời: −720.

${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^4=x^4+4\cdot x^3\cdot \left(\frac{1}{2x}\right)$$+6\cdot x^2\cdot {\left(\frac{1}{2x}\right)}^2+4\cdot x\cdot {\left(\frac{1}{2x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2x}\right)}^4$$=x^4+2x^2+\frac{3}{2}+\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{16x^4}.$

Số hạng không chứa x là $\frac{3}{2}=1,5.$

Trả lời: 1,5.