13 Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

Với 13 bài tập trắc nghiệm Hệ thức lượng trong tam giác Toán lớp 10 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 10.

13 Bài tập Hệ thức lượng trong tam giác (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 10

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Phần I. Trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1. Tính diện tích tam giác có ba cạnh lần lượt là 5; 12; 13.

A. 60;

B. 30;

C. 34;

D. $7\sqrt{5}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Nửa chu vi của tam giác là: $p=\frac{5+12+13}{2}=15$

Diện tích của tam giác là:

$S=\sqrt{p\left(p-5\right)\left(p-12\right)\left(p-13\right)}=\sqrt{15\left(15-5\right)\left(15-12\right)\left(15-13\right)}=30$.

Câu 2. Tam giác ABC có $AC=3\sqrt{3}$, AB = 3, BC = 6. Tính số đo góc B

A. 60°;

B. 45°;

C. 30°;

D. 120°.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng hệ quả của định lý côsin, ta có: $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$

$\iff \cos B=\frac{B{C}^2+A{B}^2-A{C}^2}{2AB.BC}=\frac{6^2+3^2-{\left(3\sqrt{3}\right)}^2}{\mathrm{2.6.3}}=\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{B}=60°$.

Câu 3. Tam giác ABC có các góc $\widehat{A}=75°,\widehat{B}=45°$. Tính tỉ số $\frac{AB}{AC}$.

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$;

B. $\sqrt{6}$;

C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$;

D. $2\sqrt{6}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{c}{b}=\frac{\sin C}{\sin B}=\frac{\sin (180°-75°-45°)}{\sin 45°}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Câu 4. Tam giác ABC có các góc $\widehat{B}=30°,\widehat{C}=45°$, AB = 3. Tính cạnh AC.

A. $\frac{3\sqrt{6}}{2}$;

B. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$;

C. $\sqrt{6}$;

D. $\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\Rightarrow AC=b=\frac{c.\sin B}{\sin C}=\frac{AB.\sin B}{\sin C}=\frac{3.\sin {30}^0}{\sin {45}^0}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$.

Câu 5. Tam giác ABC có tổng hai góc B và C bằng 135° và độ dài cạnh BC bằng a. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$;

B. $a\sqrt{2}$;

C. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$;

D. $a\sqrt{3}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có góc A = 180° – 135° = 45°

$\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{a}{2\sin 45°}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Câu 6. Tam giác ABC có A = 120° khẳng định nào sau đây đúng?

A. a² = b² + c² – 3bc;

B. a² = b² + c² + bc;

C. a² = b² + c² + 3bc;

D. a² = b² + c² – bc.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Áp dụng định lí Côsin tại đỉnh A ta có: a² = b² + c² – 2bc.cosA

$\Rightarrow$a² = b² + c² – 2bc.cos120° = b² + c² + bc

Câu 7. Trong tam giác ABC, hệ thức nào sau đây sai?

A. $a=\frac{b.\sin A}{\sin B}$;

B. $\sin C=\frac{c.\sin A}{a}$;

C. a = 2R.sinA;

D. b = R.tanB.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Theo định lí hàm số sin ta có: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\mathrm{sinB}}=\frac{c}{\mathrm{sinC}}=2R$

Suy ra:

+ $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\mathrm{sinB}}\Rightarrow a=\frac{b.\sin A}{\sin B}$. Do đó đáp án A đúng.

+ $\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\mathrm{sinC}}\Rightarrow \sin C=\frac{c.\sin A}{a}$. Do đó đáp án B đúng.

+ $\frac{a}{\sin A}=2R\Rightarrow a=2R.\sin A$.Do đó đáp án C đúng.

+ $\frac{b}{\mathrm{sinB}}=2R\Rightarrow \frac{b}{2}=R\sin B\Rightarrow \frac{b}{2\mathrm{cosB}}=R\tan B$. Do đó đáp án D sai.

Câu 8. Tính diện tích tam giác ABC biết A = 60°; b = 10; c = 20.

A. $50\sqrt{3}$;

B. 50;

C. $50\sqrt{2}$;

D. $50\sqrt{5}$.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức: $S=\frac{1}{2}.bc.\sin A$$=\frac{1}{2}\mathrm{.10.20.}\sin 60°$$=50\sqrt{3}$.

Câu 9. Cho tam giác ABC có a = 2, $b=\sqrt{6}$, $c=\sqrt{3}+1$. Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp.

A. $\sqrt{2}$;

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$;

D. $\sqrt{3}$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{{\sqrt{6}}^2+{(\sqrt{3}+1)}^2-2^2}{2.\sqrt{6}.(\sqrt{3}+1)}$$=\frac{\sqrt{2}}{2}$$\Rightarrow$$\widehat{A}$ = 45°.

Do đó: $R=\frac{a}{2\sin A}$$=\frac{2}{2.\sin 45°}$$=\sqrt{2}$.

Câu 10. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm; BC = 10 cm. Đường tròn nội tiếp tam giác đó có bán kính r bằng

A. 1 cm;

B. $\sqrt{2}$ cm;

C. 2 cm;

D. 3 cm.

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: C

Ta có $AC=\sqrt{B{C}^2-A{B}^2}=8$(cm).

Diện tích tam giác ABC là:$S=\frac{1}{2}AB.AC=24\left(c{m}^2\right)$

Nửa chu vi $p=\frac{6+8+10}{2}=12$ (cm)

Suy ra $r=\frac{S}{p}=\frac{24}{12}=2$(cm).

Phần II. Trắc nghiệm đúng, sai

Câu hỏi. Cho tam giác ABC có $b=7\text{cm},c=5\text{cm},\hat{A}=120°$.

a) $a=\sqrt{127}\text{cm}$.

b) $\cos B\approx 0,21$.

c) $\cos C\approx 0,91$.

d) $R\approx 6,03\text{cm}$.

Hiển thị đáp án

a) Sai. Áp dụng định lí côsin trong tam giác, ta có:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$\Rightarrow a^2=7^2+5^2-2\cdot 7\cdot 5\cdot \cos 120°=109.$

Do đó, $a=\sqrt{109}\text{cm}$.

b) Sai. Ta có $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$$\Rightarrow \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$$=\frac{109+5^2-7^2}{2\sqrt{109}\cdot 5}\approx 0,81$.

c) Đúng. Tương tự, $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$=\frac{109+7^2-5^2}{2\sqrt{109}\cdot 7}\approx 0,91$.

d) Đúng. Áp dụng định lí sin trong tam giác, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$ nên $R=\frac{a}{2\cdot \sin A}$$=\frac{\sqrt{109}}{2\cdot \sin 120°}\approx 6,03\left(\text{cm}\right)$.

Phần III. Trắc nghiệm trả lời ngắn

Câu 1. Hai bạn An và Bình cùng xuất phát từ điểm P, đi theo hai hướng khác nhau và tạo với nhau một góc $40°$để đến đích là điểm D với $\widehat{PAD}=100°$. Biết rằng An và Bình dừng lại để ăn trưa lần lượt tại A và B (như hình vẽ minh hoạ).

Hỏi bạn Bình phải đi bao xa nữa để đến được đích (số làm tròn đến hàng phần trăm; góc làm tròn đến hàng đơn vị)?

Hiển thị đáp án

Xét tam giác $PAD$ có

và $\cos \widehat{APD}=\frac{P{A}^2+P{D}^2-A{D}^2}{2\cdot PA\cdot PD}$$=\frac{8^2+9,{02}^2-3^2}{2\cdot 8\cdot 9,02}\approx 0,94$ suy ra $\widehat{APD}\approx 19°$.

Xét tam giác $PBD$ có $\widehat{BPD}=\widehat{BPA}-\widehat{APD}\approx 40°-19°=21°$,

và $BD=\sqrt{P{B}^2+P{D}^2-2\cdot PB\cdot PD\cdot \cos \widehat{BPD}}$ $\approx 3,53$ (km).

Vậy bạn Bình phải đi khoảng 3,53 km nữa để đến đích.

Đáp án: 3,53.

Câu 2. Một tàu du lịch xuất phát từ bãi biển Đồ Sơn (Hải Phòng), chạy theo hướng $N80°E$ với vận tốc 20 km/h. Sau khi đi được 30 phút, tàu chuyển sang hướng $E80°S$ giữ nguyên vận tốc và chạy tiếp 36 phút nữa đến đảo Cát Bà (tham khảo hình vẽ). Hỏi khi đó tàu du lịch cách vị trí xuất phát bao nhiêu kilômét? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Hiển thị đáp án

Giả sử tàu du lịch xuất phát từ vị trí A, chuyển động theo hướng $N80°E$tới vị trí B sau đó chuyển hướng $E80°S$ tới vị trí C như hình vẽ dưới đây:

Ta có $\widehat{ABC}=180°-10°-20°=150°$.

Tàu chạy từ vị trí A đến vị trí B với vận tốc 20 km/h trong 30 phút (tức 0,5 giờ) nên: $AB=20\cdot 0,5=10$ (km).

Tàu chạy từ vị trí B đến vị trí C với vận tốc 20 km/h trong 36 phút (tức 0,6 giờ) nên: $BC=20\cdot 0,6=12$ (km).

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta được:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}$$={10}^2+{12}^2-2\cdot 10\cdot 12\cdot \cos 150°\approx 452$

Suy ra $AC\approx \sqrt{452}\approx 21,3\left(\text{km}\right)$.

Vậy khi tới đảo Cát Bà thì tàu du lịch cách vị trí xuất phát (bãi biển Đồ Sơn) một khoảng 21,3 km.

Đáp án: 21,3.

TRẮC NGHIỆM ONLINE

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 10 Kết nối tri thức có đáp án hay khác:

• Bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 10 Chương 3

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 7: Các khái niệm mở đầu

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 9: Tích của một vectơ với một số

• Trắc nghiệm Toán 10 Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

• Giải sgk Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 10 Kết nối tri thức
• Giải lớp 10 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 10 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 10 Cánh diều (các môn học)

---