Bài 15 trang 106 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Siêu sale 5-5 Shopee

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 15 trang 106 Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có AC' = $\sqrt{3}$ . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và BC' bằng

A. $\frac{1}{3}$ .

B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

D. $\frac{1}{2}$ .

Quảng cáo

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Bài 15 trang 106 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC, BD và AC $⊥$ BD.

Có AD // B'C' và AD = B'C' (vì cùng song song và bằng BC) nên ADC'B' là hình bình hành, suy ra AB' // DC'. Do đó AB' // (BDC').

Khi đó d(AB', BC') = d(AB', (BDC')) = d(A, (BDC')) = d(C, (BDC')) .

Giả sử hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là a.

Xét tam giác ABC vuông tại B có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì CC' $⊥$ (ABCD) nên CC' $⊥$ AC hay tam giác ACC' vuông tại C.

Xét tam giác ACC' vuông tại C, có $A {C^{'}}^{2} = A C^{2} + C {C^{'}}^{2}$ $\Leftrightarrow 3 = 2 a^{2} + a^{2}$ $\Rightarrow a = 1$ .

Do đó hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh là 1 nên AC = $\sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên CO = $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Có AC $⊥$ BD, BD $⊥$ AA' (do AA' $⊥$ (ABCD)), suy ra BD $⊥$ (ACC'A') mà BD $\subset$ (BDC') nên (BDC') $⊥$ (ACC'A') .

Kẻ CE $⊥$ C'O tại E.

Vì (BDC') $⊥$ (ACC'A'), (BDC') $\cap$ (ACC'A') = C'O mà CE $⊥$ C'O nên CE $⊥$ (BDC').

Khi đó d(C, (BDC')) = CE.

Xét tam giác C'CO vuông tại C, CE là đường cao có:

$\frac{1}{C E^{2}} = \frac{1}{C {C^{'}}^{2}} + \frac{1}{C O^{2}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{{(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} = 3$ $\Rightarrow C E^{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow C E = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Vậy d(AB', BC') $= \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Đăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại khoahoc.vietjack.com

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.