Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Siêu sale 5-5 Shopee

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Biết SA $⊥$ (ABCD) và SA = a $\sqrt{2}$ . Mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC, cắt các cạnh SC, SB, SD lần lượt tại M, E, F.

a) Chứng minh AE $⊥$ (SBC).

b) Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và hình chóp S.AEMF.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 32 trang 109 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD. Kẻ AM $⊥$ SC tại M, SO $\cap$ AM = I.

Do ABCD là hình vuông nên AC $⊥$ BD.

Vì SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ BD mà AC $⊥$ BD nên BD $⊥$ (SAC), suy ra BD $⊥$ SC.

Trong mặt phẳng (SBD), qua I kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại E và F. Khi đó (P) = (AEMF).

Do ABCD là hình vuông nên BC $⊥$ AB, SA $⊥$ BC (do SA $⊥$ (ABCD)) nên BC $⊥$ (SAB), suy ra BC $⊥$ AE.

Mặt khác SC $⊥$ (P) nên SC $⊥$ AE mà BC $⊥$ AE nên AE $⊥$ (SBC).

b) Ta có $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot a \sqrt{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ .

Xét tam giác SAB vuông tại A, có $S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Xét tam giác SAD vuông tại A, có $S D = \sqrt{S A^{2} + A D^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{3}$ .

Xét tam giác ABC vuông tại B, có $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Vì SA $⊥$ (ABCD) nên SA $⊥$ AC hay tam giác SAC vuông tại A.

Xét tam giác SAC vuông tại A, có $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{2 a^{2} + 2 a^{2}} = 2 a$ .

Có AE $⊥$ (SBC) nên AE $⊥$ SB.

Xét tam giác SAB vuông tại A, AE là đường cao nên SA² = SE . SB.

Có $\frac{S E}{S B} = \frac{S E \cdot S B}{S B^{2}} = \frac{S A^{2}}{S B^{2}} = \frac{2 a^{2}}{3 a^{2}} = \frac{2}{3}$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A, AM là đường cao nên SA² = SM.SC.

Có $\frac{S M}{S C} = \frac{S M \cdot S C}{S C^{2}} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{2 a^{2}}{4 a^{2}} = \frac{1}{2}$ .

Do ABCD là hình vuông nên DC $⊥$ AD mà SA $⊥$ DC (do SA $⊥$ (ABCD)) nên DC $⊥$ (SAD), suy ra DC $⊥$ AF.

Mặt khác SC $⊥$ (P) nên SC $⊥$ AF mà DC $⊥$ AF nên AF $⊥$ (SCD), suy ra AF $⊥$ SD.

Xét tam giác SAD vuông tại A, AF là đường cao nên SA² = SF . SD.

Có $\frac{S F}{S D} = \frac{S F \cdot S D}{S D^{2}} = \frac{S A^{2}}{S D^{2}} = \frac{2 a^{2}}{3 a^{2}} = \frac{2}{3}$ .

Ta có $\frac{V_{S.AMF}}{V_{S . A C D}} = \frac{S A}{S A} \cdot \frac{S M}{S C} \cdot \frac{S F}{S D}$ $= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow V_{S.AMF} = \frac{1}{3} V_{S . A C D}$ .

$\frac{V_{S.AME}}{V_{S . A C B}} = \frac{S A}{S A} \cdot \frac{S M}{S C} \cdot \frac{S E}{S B}$ $= 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ $\Rightarrow V_{S.AME} = \frac{1}{3} V_{S . A C B}$ .

Suy ra $V_{S.AMF} + V_{S.AME} = \frac{1}{3} V_{S . A C D} + \frac{1}{3} V_{S . A C B}$ $\Rightarrow V_{S.AEMF} = \frac{1}{3} (V_{S . A C D} + V_{S . A C B})$

$\Rightarrow V_{S.AEMF} = \frac{1}{3} V_{S . A B C D}$ $\Rightarrow V_{S.AEMF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{9}$

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{3}$ ; $V_{S.AEMF} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{9}$ .

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Đăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại khoahoc.vietjack.com

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.