Bài 31 trang 109 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Siêu sale 5-5 Shopee

Giải Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm - Kết nối tri thức

Bài 31 trang 109 Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a, $\hat{A O B} = \hat{A O C} = 60 °$ và $\hat{B O C} = 90 °$ .

a) Chứng minh rằng (OBC) $⊥$ (ABC).

b) Tính theo a khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) và thể tích khối tứ diện OABC.

Quảng cáo

Lời giải:

Bài 31 trang 109 Toán 11 Tập 2 | Kết nối tri thức Giải Toán 11

a) Gọi M là trung điểm của BC.

Xét tam giác OBC có OB = OC = a nên tam giác OBC cân tại O mà OM là trung tuyến nên OM đồng thời là đường cao hay OM $⊥$ BC.

Vì tam giác OAC có OA = OC = a và $\hat{A O C} = 60 °$ nên tam giác OAC đều, suy ra AC = a.

Vì tam giác OAB có OA = OB = a và $\hat{A O B} = 60 °$ nên tam giác OAB đều, suy ra AB = a.

Xét tam giác OBC vuông tại O, có BC = $\sqrt{O C^{2} + O B^{2}} = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác OBC vuông tại O, OM là đường cao, có

$\frac{1}{O M^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$ $= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{a^{2}}$ $\Rightarrow O M = \frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Vì BC² = 2a² = a² + a² = AB² + AC² nên tam giác ABC vuông tại A.

Mặt khác AB = AC nên tam giác ABC cân tại A có AM là trung tuyến nên AM đồng thời là đường cao hay AM $⊥$ BC.

Xét tam giác ABC vuông tại A, AM là đường cao có:

$\frac{1}{A M^{2}} = \frac{1}{A B^{2}} + \frac{1}{A C^{2}}$ $= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{2}} = \frac{2}{a^{2}}$ $\Rightarrow A M = \frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Vì OA² = a² = $\frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{2}}{2}$ = OM² + AM² nên tam giác OMA vuông tại M, suy ra OM ^ MA.

Vì OM $⊥$ MA và OM $⊥$ BC nên OM $⊥$ (ABC) mà OM $\subset$ (OBC), suy ra (OBC) $⊥$ (ABC).

b) Vì OM $⊥$ (ABC) nên d(O, (ABC)) = OM = $\frac{a}{\sqrt{2}}$ .

Có $S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C = \frac{a^{2}}{2}$ . Khi đó $V_{O A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot O M$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2}}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Vậy $V_{O A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Quảng cáo

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập ôn tập cuối năm hay, chi tiết khác:

Quảng cáo

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!

Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):

Săn shopee siêu SALE :

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Đăng ký khóa học tốt 11 dành cho teen 2k4 tại khoahoc.vietjack.com

Giáo án, bài giảng powerpoint Văn, Toán, Lí, Hóa....

4.5 (243)

799,000đs

199,000 VNĐ

Đề thi, chuyên đề Cánh diều, Kết nối tri thức, Chân trời sáng tạo...

4.5 (243)

799,000đ

99,000 VNĐ

Khóa học online bởi các thầy cô VietJack

4.5 (243)

999,000đ

299.000 - 599.000 VNĐ

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.