Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng - Cánh diều

Hoạt động 10 trang 59 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) có phương trình tổng quát là Ax + By + Cz + D = 0 với $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là vectơ pháp tuyến. Cho điểm M₀(2; 3; 4). Gọi H(x_H; y_H; z_H) là hình chiếu vuông góc của điểm M₀ trên mặt phẳng (P) (Hình 16).

a) Tính tọa độ của $\overrightarrow{H{M}_0}$ theo x_H, y_H, z_H.

b) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right),\overrightarrow{H{M}_0}$. Từ đó, hãy suy ra rằng

$\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|A\cdot 2+B\cdot 3+C\cdot 4+D\right|$.

c) Tính các độ dài $\left|\overrightarrow{n}\right|,\left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|$ theo A, B, C, D. Từ đó, hãy nêu công thức tính khoảng cách từ điểm M₀(2; 3; 4) đến mặt phẳng (P).

Lời giải:

a) $\overrightarrow{H{M}_0}=\left(2-x_H;3-y_H;4-z_H\right)$.

b) Vì H là hình chiếu vuông góc của M₀ trên mặt phẳng (P) nên HM₀ ⊥ (P).

Vectơ $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) nên giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ vuông góc với mặt phẳng (P).

Từ đó suy ra đường thẳng HM₀ và giá của vectơ $\overrightarrow{n}$ song song hoặc trùng nhau.

Do vậy, hai vectơ $\overrightarrow{n},\overrightarrow{H{M}_0}$ cùng phương.

Suy ra $\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{H{M}_0}\right|$

                           = |A(2 – x_H) + B(3 – y_H) + C(4 – z_H)|

                           = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + (– Ax_H – By_H – Cz_H)|. (1)

Mặt khác vì H ∈ (P) nên ta có

Ax_H + By_H + Cz_H + D = 0, suy ra D = – Ax_H – By_H – Cz_H. (2)

Thay (2) và (1) ta được $\left|\overrightarrow{n}\right|\cdot \left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\left|\overrightarrow{n}\cdot \overrightarrow{H{M}_0}\right|$ = |A ∙ 2 + B ∙ 3 + C ∙ 4 + D|.

c) Ta có $\left|\overrightarrow{n}\right|=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$.

Từ câu b) suy ra $\left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\frac{\left|A\cdot 2+B\cdot 3+C\cdot 4+D\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|A\cdot 2+B\cdot 3+C\cdot 4+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Vậy d(M₀, (P)) = $\left|\overrightarrow{H{M}_0}\right|=\frac{\left|A\cdot 2+B\cdot 3+C\cdot 4+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác:

• Câu hỏi khởi động trang 50 Toán 12 Tập 2: Người ta muốn sản xuất một chi tiết máy được cắt ra từ một ống trụ thép bằng gia công cơ khí chính xác (Hình 1). ....

• Hoạt động 1 trang 50 Toán 12 Tập 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' (Hình 2). Giá của vectơ $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}$ có vuông góc với mặt phẳng (ABCD) hay không?....

• Luyện tập 1 trang 51 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của: a) Mặt phẳng (Oyz); ....

• Hoạt động 2 trang 51 Toán 12 Tập 2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Cho biết hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$ có cùng phương hay không.....

• Luyện tập 2 trang 51 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, hãy chỉ ra một cặp vectơ chỉ phương của mỗi mặt phẳng (Oxy), (Oyz), (Ozx).....

• Hoạt động 3 trang 52 Toán 12 Tập 2: Cho cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(1;0;1\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(2;1;0\right)$  của mặt phẳng (P).....

• Luyện tập 3 trang 52 Toán 12 Tập 2: Ví dụ 3, vectơ $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(1;-2;1\right)$ có là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) hay không? Vì sao?....

• Hoạt động 4 trang 52 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(1; – 1; 2) và có vectơ pháp tuyến ....

• Luyện tập 4 trang 54 Toán 12 Tập 2: Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng sau: a) (P): x – y = 0; ....

• Hoạt động 5 trang 54 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀) có $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là vectơ pháp tuyến. Giả sử M(x; y; z) là một điểm bất kì thuộc mặt phẳng (P) (Hình 9). ....

• Luyện tập 5 trang 54 Toán 12 Tập 2: Cho hai điểm M(2; 1; 0) và N(0; 3; 0). Lập phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN.....

• Hoạt động 6 trang 55 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(1; 3; – 2) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;1;3\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(2;-1;2\right)$  (Hình 10).....

• Luyện tập 6 trang 55 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P) đi qua điểm I(x₀; y₀; z₀). Lập phương trình mặt phẳng (P), biết mặt phẳng đó có cặp vectơ chỉ phương là....

• Hoạt động 7 trang 55 Toán 12 Tập 2: Cho ba điểm H(– 1; 1; 2), I(1; 3; 2), K(– 1; 4; 5) cùng thuộc mặt phẳng (P) (Hình 11).....

• Luyện tập 7 trang 56 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; 2; 1), N(0; 3; 2) và P(– 1; 0; 0). ....

• Luyện tập 8 trang 57 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 4). ....

• Hoạt động 8 trang 57 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P₁): 2x + 2y + 2z + 1 = 0 (1)....

• Luyện tập 9 trang 58 Toán 12 Tập 2: Cho m ≠ 0. Chứng minh rằng các mặt phẳng (P): x – m = 0, (Q): y – m = 0, (R): z – m = 0 lần lượt song song với các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy). ....

• Hoạt động 9 trang 58 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P₁) có phương trình tổng quát là: x + 2y + z + 1 = 0....

• Luyện tập 10 trang 59 Toán 12 Tập 2: Chứng minh rằng hai mặt phẳng (Ozx) và (P): x + 2z – 3 = 0 vuông góc với nhau.....

• Luyện tập 11 trang 61 Toán 12 Tập 2: Chứng minh rằng khoảng cách từ điểm M(a; b; c) đến các mặt phẳng (Oyz), (Ozx), (Oxy) lần lượt bằng ....

• Luyện tập 12 trang 61 Toán 12 Tập 2: Cho mặt phẳng (P₁): 6x – 8y – 3 = 0 và mặt phẳng (P₂): 3x – 4y + 2 = 0.....

• Bài 1 trang 63 Toán 12 Tập 2: Phương trình nào sau đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng? A. – x² + 2y + 3z + 4 = 0. ....

• Bài 2 trang 63 Toán 12 Tập 2: Mặt phẳng x + 2y – 3z + 4 = 0 có một vectơ pháp tuyến là: ...

• Bài 3 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(3; – 4; 5) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(2;7;-1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.....

• Bài 4 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm K(– 1; 2; 3) và nhận hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right),\overrightarrow{v}=\left(4;5;6\right)$ làm cặp vectơ chỉ phương.....

• Bài 5 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) trong mỗi trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm I(3; – 4; 1) và vuông góc với trục Ox...

• Bài 6 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(1; 1; 1), B(0; 4; 0), C(2; 2; 0). ...

• Bài 7 trang 63 Toán 12 Tập 2: Lập phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn của mặt phẳng (P), biết (P) đi qua ba điểm A(5; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0; 6). ...

• Bài 8 trang 64 Toán 12 Tập 2: Cho hai mặt phẳng (P₁): 4x – y – z + 1 = 0,(P₂): 8x – 2y – 2z + 1 = 0. ...

• Bài 9 trang 64 Toán 12 Tập 2: a) Cho hai mặt phẳng (P₁): x + 2y + 3z + 4 = 0, (P₂): x + y – z + 5 = 0. Chứng minh rằng (P₁) ⊥ (P₂). ....

• Bài 10 trang 64 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), ....

• Bài 11 trang 64 Toán 12 Tập 2: Hình 20 minh họa hình ảnh một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). ....

• Bài 12 trang 64 Toán 12 Tập 2: Hình 21 minh họa một khu nhà đang xây dựng được gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều ....

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng

• Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu

• Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• Toán 12 Bài 1: Xác xuất có điều kiện

• Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Cánh diều
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Cánh diều
• Giải SBT Toán 12 Cánh diều
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)

---