Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là

Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 3: Phương trình mặt cầu

Bài 5 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Người ta muốn thiết kế một quả địa cầu trong không gian Oxyz bằng phần mềm 3D. Biết phương trình mặt cầu là:

(S): (x – 24)² + (y – 24)² + (z – 24)² = 100 (đơn vị cm) và phương trình đường thẳng trục xoay là d: $\frac{x-24}{1}=\frac{y-24}{1}=\frac{z-24}{\mathrm{3,25}}$

a) Tìm tọa độ giao điểm của d và (S).

b) Tính số đo góc giữa d và trục Oz. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười của độ.

Lời giải:

a) Ta có phương trình tham số của đường thẳng d là: $\left\{\begin{array}{l}x=24+t\\ y=24+t\\ z=24+\mathrm{3,25}t.\end{array}\right.$

Xét điểm M(24 + t; 24 + t; 24 + 3,25t) thuộc đường thẳng d.

Thay tọa độ của M vào phương trình mặt cầu (S), ta được:

(24 + t – 24)² + (24 + t – 24)² + (24 + 3,25t – 24)² = 100 ⇔ t = $\pm \frac{40\sqrt{201}}{201}$

Vậy d cắt (S) tại hai điểm $M\left(24+\frac{40\sqrt{201}}{201};24+\frac{40\sqrt{201}}{201};24+\frac{130\sqrt{201}}{201}\right)$ hoặc $M^{\text{'}}\left(24-\frac{40\sqrt{201}}{201};24-\frac{40\sqrt{201}}{201};24-\frac{130\sqrt{201}}{201}\right)$

b) Vectơ chỉ phương của d và trục Oz lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(1;1;\mathrm{3,25}\right),\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$

Ta có: cos(d; Oz) = $\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}=\frac{\left|\mathrm{3,25}\right|}{\sqrt{1^2+1^2+{\mathrm{3,25}}^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}}\approx \mathrm{0,917}$

Suy ra (d, Oz) ≈ 23,5°.

Lời giải SBT Toán 12 Bài 3: Phương trình mặt cầu hay khác:

• Bài 1 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Cho mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 4) và bán kính R = 5. Các điểm A(3; 1; 5), B(−1; 11; 14), C(6; 2; 4) nằm trong, nằm trên hay nằm ngoài mặt cầu (S)? ....

• Bài 2 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Viết phương trình mặt cầu (S) trong mỗi trường hợp sau: ....

• Bài 3 trang 59 SBT Toán 12 Tập 2: Xác định tâm và bán kính của mặt phẳng có phương trình sau: ....

• Bài 4 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu? Xác định tâm và bán kính mặt của cầu đó. ....

• Bài 6 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là mét), một ngọn hải đăng có bóng đèn đặt tại điểm I(20; 40; 60). ....

• Bài 7 trang 60 SBT Toán 12 Tập 2: Một khu vực đã được thiết lập một hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên các trục là mét). Một flycam đang phát sóng wifi bao phủ một vùng ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 5

• SBT Toán 12 Bài 1: Xác suất có điều kiện

• SBT Toán 12 Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 6

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải SBT Toán 12 Chân trời sáng tạo
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---