Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất

Giải sách bài tập Toán 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn - Kết nối tri thức

Bài 1.45 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Chứng tỏ rằng một thùng hình trụ có thể tích V cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích về mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.

Lời giải:

Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là r. Suy ra, chiều cao của thùng hình trụ là $\frac{V}{\pi r^2}$ .

Diện tích bề mặt của thùng hình trụ là S = 2πr² + $\frac{2\pi rV}{\pi r^2}$  = 2πr² + $\frac{2V}{r}$ , r > 0.

Ta có: S' = 2πr² –$\frac{2V}{r^2}$  = $\frac{4\pi r^3-2V}{r^2}$

           S' = 0 ⇔ r = $\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ .

Bảng biến thiên của hàm số:

Từ bảng biến thiên: S đạt giá trị nhỏ nhất khi r = $\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$ , khi đó chiều cao của hình trụ là 2.$\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi }}$  = 2r.

Đây là điều cần chứng minh.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn hay khác:

• Bài 1.41 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Bác Hưng có một hàng rào thép dài 240 m và muốn rào cánh đồng thành một thửa ruộng hình chữ nhật ....

• Bài 1.42 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Doanh số bán hệ thống âm thanh nổi mới trong một khoảng thời gian dự kiến sẽ tuân theo ....

• Bài 1.43 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Một chiếc hộp dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông và có thể tích là 2 000 cm³ ....

• Bài 1.44 trang 31 SBT Toán 12 Tập 1: Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng 3 km, một thị trấn ở điểm A ....

• Bài 1.46 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Ở 0℃, sự mất nhiệt H (tính bằng Lcal/m²h, ở đây Kcal là kilocalories và 1 Kcal = 1 000 calo) ....

• Bài 1.47 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Doanh thu R (USD) từ việc cho thuê x căn hộ có thể được mô hình hóa bằng hàm số ....

• Bài 1.48 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: Một công ty ước tính rằng chi phí C (USD) để sản xuất x đơn vị sản phẩm có thể được ....

• Bài 1.49 trang 32 SBT Toán 12 Tập 1: a) Nếu C(x) (USD) là chi phí sản xuất x đơn vị hàng hóa, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị ....

• Bài 1.50 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: a) Chứng tỏ rằng nếu lợi nhuận P(x) là cực đại thì doanh thu biên bằng chi phí biên ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 1

• SBT Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian

• SBT Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

• SBT Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 2

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---