Cho hàm số y Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m lớn hơn 0

Giải sách bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 1 - Kết nối tri thức

Bài 1.66 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{m{x}^2+\left(2m-1\right)x-1}{x+2}$ với m là tham số.

a) Chứng minh rằng hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị (H) của hàm số đã cho với m = 1.

c) Giả sử ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại điểm M ∈ (H) bất kì. Chứng minh rằng nếu ∆ cắt tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của (H) tại A và B thì M luôn là trung điểm của đoạn AB.

Lời giải:

a) Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: ${\mathrm{y}}^{\text{'}}=\frac{{\mathrm{mx}}^2+4\mathrm{mx}+4\mathrm{m}-1}{{\left(\mathrm{x}+2\right)}^2}$

           y' = 0 ⇔ mx² + 4mx + 4m – 1 = 0

Xét ∆' = 4m² – m(4m – 1) = 4m² – 4m² + m = m.

Với m > 0 thì ta được y' = 0 là phương trình bâc hai có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Vậy hàm số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m > 0.

b) Với m = 1, ta có: y = $\frac{x^2+x-1}{x+2}$

Tập xác định: D = ℝ\{−2}.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{x^2+4x+3}{{\left(x+2\right)}^2}$

          y' = 0 ⇔ x² + 4x + 3 = 0 ⇔ x = −3 hoặc x = −1.

Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=-\infty$ .

          $\underset{x\to -2^{+}}{\lim }y=+\infty ;\underset{x\to -2^{-}}{\lim }y=-\infty$.

Do đó, đồ thị hàm số nhận đường thẳng x = −2 làm tiệm cận đứng.

Ta có: y = $\frac{x^2+x-1}{x+2}$ = x – 1 + $\frac{1}{x+2}$ .

Suy ra $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x+2}=0$

Do đó, đường thẳng y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có bảng biến thiên như sau:

Đồ thị của hàm số như sau:

c) Lấy M$\left(\mathrm{t};\frac{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}-1}{\mathrm{t}+2}\right)$  ∈ (H) bất kì.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (H) tại M là:

d: y = y'(t)(x – t) + y(t)

    y = $\frac{{\mathrm{t}}^2+4\mathrm{t}+3}{{\left(\mathrm{t}+2\right)}^2}\left(\mathrm{x}-\mathrm{t}\right)+\frac{{\mathrm{t}}^2+\mathrm{t}-1}{\mathrm{t}+2}$ .

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận đứng tại điểm A $\left(-2;-\frac{3t+4}{t+2}\right)$.

Tiếp tuyến d cắt tiệm cận xiên tại điểm B(2t + 2; 2t + 1).

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{x}_A+x_B=2t=2x_M\\ y_A+y_B=(2t+1)-\frac{3t+4}{t+2}=\frac{2t^2+2t-2}{t+2}=2y_M\end{array}\right.$ .

Vậy M là trung điểm của đoạn AB.

Lời giải Sách bài tập Toán lớp 12 Bài tập cuối chương 1 hay khác:

• Bài 1.51 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên (a;b). Xét các mệnh đề sau: ....

• Bài 1.52 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó? ....

• Bài 1.53 trang 33 SBT Toán 12 Tập 1: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số ....

• Bài 1.54 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x – 1)²(x + 2)⁴ với mọi x ∈ ℝ. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là: ....

• Bài 1.55 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{x^2+mx+1}{x+m}$ . Hàm số đạt cực đại tại x = 2 khi ....

• Bài 1.56 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=e^{-\frac{x^2}{2}}$  có đồ thị (C). Xét các mệnh đề sau: ....

• Bài 1.57 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{1}{\sqrt{x}}$. Xét các mệnh đề sau: (I) Hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó ....

• Bài 1.58 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{2x^2-4x+2}{x^2-6x+5}$. Mệnh đề nào sau đây là đúng? ....

• Bài 1.59 trang 34 SBT Toán 12 Tập 1: Giá trị lớn nhất của hàm số y = x² – 8lnx trên đoạn [1; e] là: ....

• Bài 1.60 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ và có bảng biến thiên như dưới đây: ....

• Bài 1.61 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{ax+b}{cx+d}$  có đồ thị như hình vẽ sau: ....

• Bài 1.62 trang 35 SBT Toán 12 Tập 1: Biết đường thẳng y = 2x – 3 cắt đồ thị hàm số y = $\frac{2x+3}{x+3}$  tại hai điểm A và B ....

• Bài 1.63 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = $\frac{1}{3}$ x³ + (m – 1)x² + (2m – 3)x + $\frac{2}{3}$ .a) Khảo sát sự biến thiên ....

• Bài 1.64 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 2 có đồ thị (C). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho ....

• Bài 1.65 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=\frac{\left(m+1\right)x-2m+1}{x-1}$. a) Tìm m để tiệm cận ngang của ....

• Bài 1.67 trang 36 SBT Toán 12 Tập 1: Cắt bỏ hình quạt AOB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh ....

• Bài 1.68 trang 37 SBT Toán 12 Tập 1: Một hành lang giữa hai nhà có hình dạng một lăng trụ đứng (xem hình bên) ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 12 Bài 6: Vectơ trong không gian

• SBT Toán 12 Bài 7: Hệ trục toạ độ trong không gian

• SBT Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

• SBT Toán 12 Bài tập cuối chương 2

• SBT Toán 12 Bài 9: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải lớp 12 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 12 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 12 Cánh diều (các môn học)

---