Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE

Giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi - Cánh diều

Bài 28 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao BD, CE. Tia phân giác của các góc ACE, ABD cắt nhau tại O và cắt AB, AC lần lượt tại M, N. Tia BN cắt CE tại K, tia CM cắt BD tại H. Chứng minh:

a) BN ⊥ CM;

b) Tứ giác MNHK là hình thoi.

Lời giải:

a) Do AD, CE là đường cao của ∆ABC nên AD ⊥ AC, CE ⊥ AB.

Do đó ∆ABD vuông tại D và ∆ACE vuông tại E nên $\widehat{ABD}+\widehat{A}=\widehat{ACE}+\widehat{A}=90°$

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

Mà BN và CM lần lượt là tia phân giác của $\widehat{ABD}$ và $\widehat{ACE}$, suy ra $\widehat{ABN}=\widehat{DBN}=\widehat{ACM}=\widehat{ECM}$.

Do ∆CEM vuông tại E nên $\widehat{ECM}+\widehat{EMC}=90°$

Suy ra

$\widehat{ABN}+\widehat{EMC}=90°$

 hay $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}=90°$.

Trong tam giác MOB có: $\widehat{MBO}+\widehat{BMO}+\widehat{BOM}=180°$

Suy ra $\widehat{BOM}=180°-\left(\widehat{MBO}+\widehat{BMO}\right)=180°-90°=90°$.

Vậy BN ⊥ CM.

b) Xét ∆BMO vuông tại O và ∆BHO vuông tại O có:

Cạnh BO chung, $\widehat{MBO}=\widehat{HBO}$

Do đó ∆BMO = ∆BHO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra OM = OH (hai cạnh tương ứng)

Hay O là trung điểm của MH.

Tương tự ta chứng minh được ∆CNO = ∆CKO (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).

Suy ra ON = OK (hai cạnh tương ứng)

Hay O là trung điểm của NK.

Tứ giác MNHK có hai đường chéo MH và NK cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường nên MNHK  là hình bình hành.

Hình bình hành MNHK có MH ⊥ NK nên MNHK là hình thoi.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 6: Hình thoi hay khác:

• Bài 26 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có góc B tù. Kẻ BE vuông góc AD tại E, BF vuông góc ....

• Bài 27 trang 99 SBT Toán 8 Tập 1: Cho một hình thoi có độ dài hai đường chéo là $\frac{18}{5}\text{ m}$ ....

• Bài 29 trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng thước hai lề (thước có hai cạnh song song) ....

• Bài 30* trang 100 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thoi ABCD có AB = 2 cm, $\widehat{A}=\frac{1}{2}\widehat{B}$ . ....

Xem thêm các bài giải sách bài tập Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

• SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

• SBT Toán 8 Bài 4: Hình bình hành

• SBT Toán 8 Bài 5: Hình chữ nhật

• SBT Toán 8 Bài 7: Hình vuông

• SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 5

Săn SALE shopee tháng 12-6:

• Unilever mua 1 tặng 1
• L'Oreal mua 1 tặng 3
• La Roche-Posay mua là có quà:

---