Giải Toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Với Giải Toán 10 trang 97 Tập 1 trong Bài 3: Tích của một số với một vectơ Toán lớp 10 Tập 1 Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 10 trang 97.

Giải Toán 10 trang 97 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo. Với M là điểm tùy ý, chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$;

b) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$.

Lời giải:

a) O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Khi đó: $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0},\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$

Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)$

$=4\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}\right)$

$=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MO}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$.

b) ABCD là hình bình hành nên theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

Khi đó ta có: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}$.

Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AC}$.

Bài 2 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD. Chứng minh rằng:

a) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$;

b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

Lời giải:

a) Do M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Do N là trung điểm của CD nên $\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=\overrightarrow{0}$

Theo quy tắc ba điểm ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\left(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MA}\right)+\left(\overrightarrow{MD}-\overrightarrow{MB}\right)$

$=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=\left(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}\right)-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)$

$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)=2\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$.

b) Ta có: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{NC}\right)+\left(\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{ND}\right)=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}\right)+\left(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}\right)$

$=\left(\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}\right)+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{BN}+\overrightarrow{AN}=\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MB}\right)+\left(\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{MA}\right)$

$=2\overrightarrow{MN}-\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right)=2\overrightarrow{MN}-\overrightarrow{0}=2\overrightarrow{MN}$

Do đó: $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{MN}$

Mà theo câu a, ta có: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{MN}$

Vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD}$.

Bài 3 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B. Xác định điểm M sao cho $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.

Lời giải:

Ta có:  $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{MA}=-4\overrightarrow{MB}$.

Suy ra ba điểm M, A, B thẳng hàng và hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MB}$ ngược hướng và thỏa mãn $\left|\overrightarrow{MA}\right|=4.\left|\overrightarrow{MB}\right|$ hay MA = 4MB.

Khi đó M, A, B thẳng hàng và M nằm giữa A và B thỏa mãn MA = 4MB.

Vậy điểm M thỏa mãn $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$ là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho MA = 4MB.

Bài 4 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, CD, EF. Lấy điểm M tùy ý, chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

Lời giải:

Vì E là trung điểm của AB nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GE}$.

Vì F là trung điểm của CD nên với điểm G ta có: $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GF}$.

Mà G là trung điểm của EF nên $\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{0}$.

Do đó: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GE}+2\overrightarrow{GF}=2\left(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF}\right)=\overrightarrow{0}$.

Với điểm M tùy ý, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}$

$=\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right)+\left(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{MG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}\right)$

$=4\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MG}$

Vậy $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MG}$.

Bài 5 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Máy bay A đang bay về hướng đông bắc với tốc độ 600 km/h. Cùng lúc đó, máy bay B đang bay về hướng tây nam với tốc độ 800 km/h. Biểu diễn vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B theo vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của máy bay A.

Lời giải:

Quan sát bản đồ về hướng sau:

Ta thấy hướng đông bắc ngược hướng với hướng tây nam.

Do đó vectơ vận tốc $\overrightarrow{b}$ của máy bay B ngược hướng với vectơ vận tốc $\overrightarrow{a}$ của máy bay A. (1)  

Theo bài ra ta có:  $\left|\overrightarrow{a}\right|=600$ km/h, $\left|\overrightarrow{b}\right|=800$ km/h.

Suy ra: $\frac{\left|\overrightarrow{b}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|}=\frac{800}{600}=\frac{4}{3}\Rightarrow \left|\overrightarrow{b}\right|=\frac{4}{3}.\left|\overrightarrow{a}\right|$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{b}=-\frac{4}{3}\overrightarrow{a}$.

Bài 6 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho hai điểm phân biệt A và B.

a) Xác định điểm O sao cho $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}$.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MO}$.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{OA}=-3\overrightarrow{OB}$

Do đó ba điểm A, O, B thẳng hàng và hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$ ngược hướng thỏa mãn $\left|\overrightarrow{OA}\right|=3.\left|\overrightarrow{OB}\right|$.

Khi đó O nằm trên đoạn thẳng AB thỏa mãn OA = 3OB.

b) Với điểm M bất kì ta có: $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)+3\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)$

$=\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{MO}+3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+3\overrightarrow{OB}\right)=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MO}$

Vậy với mọi điểm M bất kì ta có $\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}=4\overrightarrow{MO}$.

Bài 7 trang 97 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC.

a) Xác định các điểm M, N, P thỏa mãn: $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB},\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$.

b) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BA}$.

c) Chứng minh ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{MB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ nên ba điểm M, B, C thẳng hàng và vectơ $\overrightarrow{MB}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{BC}$  sao cho $\left|\overrightarrow{MB}\right|=\frac{1}{2}.\left|\overrightarrow{BC}\right|$ hay MB = $\frac{1}{2}$BC.

Lại có:  $\overrightarrow{AN}=3\overrightarrow{NB}$ nên ba điểm A, N, B thẳng hàng và vectơ $\overrightarrow{AN}$ cùng hướng với vectơ $\overrightarrow{NB}$ sao cho $\left|\overrightarrow{AN}\right|=3\left|\overrightarrow{NB}\right|$ hay AN = 3NB.

Có:  $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}\iff \overrightarrow{PA}-\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{PA}+\left(-\overrightarrow{CP}\right)=\overrightarrow{0}\iff \overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$

⇔ P là trung điểm của đoạn thẳng AC.

b) Vì AN = 3NB nên BN = $\frac{1}{4}$BA, do đó: $\overrightarrow{BN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

Ta có: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$.

Vì MB = $\frac{1}{2}$BC nên $MC=\frac{3}{2}BC$, do đó: $\overrightarrow{MC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}$.

P là trung điểm của AC nên $\overrightarrow{CP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}$.

Nên ta có: $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CP}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}=\frac{3}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\right)$

$=\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{2}\right)\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$

Vậy $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}$ và $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}$.

c) Theo câu b ta có: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{BA}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}\right)=\frac{1}{2}\overrightarrow{MP}$

Do đó: $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{MP}$

Từ đó suy ra ba điểm M, N, P thẳng hàng.

Lời giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Tích của một số với một vectơ Chân trời sáng tạo hay khác:

• Giải Toán 10 trang 94

• Giải Toán 10 trang 95

• Giải Toán 10 trang 96

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

• Bài 4: Tích vô hướng của hai vectơ

• Bài tập cuối chương 5

• Bài 1: Số gần đúng và sai số

• Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ

• Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Săn shopee siêu SALE :

• Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
• Biti's ra mẫu mới xinh lắm
• Tsubaki 199k/3 chai
• L'Oreal mua 1 tặng 3

---