Giải Toán 12 trang 25 Tập 2 Kết nối tri thức

Với Giải Toán 12 trang 25 Tập 2 trong Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Toán 12 trang 25.

Giải Toán 12 trang 25 Tập 2 Kết nối tri thức

Vận dụng 3 trang 25 Toán 12 Tập 2:

a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).

b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.

Lời giải:

a) Chọn hệ trục như hình vẽ.

Khi đó ta có C(0; r), B(h; R). Suy ra $\overrightarrow{BC}=\left(h;R-r\right)$

Phương trình đường thẳng BC qua C và nhận $\overrightarrow{n}=\left(r-R;h\right)$ có dạng:

(r – R)x + h(y − r) = 0 hay $y=\frac{hr+\left(R-r\right)x}{h}$

Thể tích cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}{\left[\frac{hr+\left(R-r\right)x}{h}\right]}^{2}dx$$=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}\left[r^2+2r.\frac{R-r}{h}x+{\left(\frac{R-r}{h}x\right)}^2\right]dx$

$=\pi {\left.\left(r^{2}x+r.\frac{R-r}{h}.x^2+{\left(\frac{R-r}{h}\right)}^2.\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^h$$=\pi \left[r^{2}h+\left(Rr-r^2\right).h+\frac{{\left(R-r\right)}^2.h}{3}\right]$

$=\pi \left(r^{2}h+Rrh-r^{2}h+\frac{1}{3}{R}^{2}h-\frac{2}{3}Rrh+\frac{1}{3}{r}^{2}h\right)$$=\pi \left(\frac{1}{3}{R}^{2}h+\frac{1}{3}Rrh+\frac{1}{3}{r}^{2}h\right)$

$=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)$

b) Khi r = 0 thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h, bán kính đáy là R.

Do đó $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

Bài 4.14 trang 25 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.

Lời giải:

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|5x-x^2-x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|4x-x^2\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(4x-x^2\right)dx$$={\left.\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^4$$=\frac{32}{3}$

Bài 4.15 trang 25 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = e^x, y = x² – 1, x = −1, x = 1;

b) y = sinx, y = x, $x=\frac{\pi }{2},x=\pi$;

c) y = 9 – x², y = 2x², $x=-\sqrt{3},x=\sqrt{3}$;

d) $y=\sqrt{x},$ y = x², x = 0, x = 1.

Lời giải:

a)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-x^2+1\right|dx$$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-x^2+1\right)dx$

$={\left.\left(e^x-\frac{x^3}{3}+x\right)\right|}_{-1}^1$$=e+\frac{2}{3}-e^{-1}+\frac{2}{3}$$=\frac{e^2-1}{e}+\frac{4}{3}$

b) Diện tích cần tính là:

$S=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\left|\sin x-x\right|dx$$=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\left(x-\sin x\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}+\cos x\right)\right|}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }$$=\frac{{\pi }^2}{2}-1-\frac{{\pi }^2}{8}=\frac{3{\pi }^2}{8}-1$

c)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left|9-x^2-2x^2\right|dx$$=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left|9-3x^2\right|dx$$=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left(9-3x^2\right)dx$

$={\left.\left(9x-x^3\right)\right|}_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$$=9\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}-3\sqrt{3}$$=12\sqrt{3}$

d)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt{x}-x^2\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$$={\left.\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^1$$=\frac{1}{3}$

Bài 4.16 trang 25 Toán 12 Tập 2: Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình y = x sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz y = f(x), biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với 0 ≤ x ≤ 100, biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường con Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số

y = (0,00061x² + 0,0218x + 1723)², 0 ≤ x ≤ 100,

trong đó x được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.

Lời giải:

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:

$S=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left|{\left(\mathrm{0,00061}{x}^2+\mathrm{0,0218}x+1723\right)}^2-x\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left|\left({\mathrm{0,00061}}^2{x}^4+{\mathrm{4,7524.10}}^{-4}{x}^2+{1723}^2+{\mathrm{2,6596.10}}^{-5}{x}^3+\mathrm{2,10206}{x}^2+\mathrm{75,1228}x\right)-x\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left|\left({\mathrm{0,00061}}^2{x}^4+{\mathrm{2,6596.10}}^{-5}{x}^3+\mathrm{2,10253524}{x}^2+\mathrm{74,1228}x+{1723}^2\right)\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left({\mathrm{0,00061}}^2{x}^4+{\mathrm{2,6596.10}}^{-5}{x}^3+\mathrm{2,10253524}{x}^2+\mathrm{74,1228}x+{1723}^2\right)dx$

$={\left.\left({\mathrm{7,442.10}}^{-8}.x^5+{\mathrm{6,649.10}}^{-6}.x^4+\mathrm{0,70084508.}{x}^3+\mathrm{37,0614.}{x}^2+{1723}^2.x\right)\right|}_0^{100}$

$={\mathrm{7,442.10}}^{-8}{.100}^5+{\mathrm{6,649.10}}^{-6}{.100}^4+{\mathrm{0,70084508.100}}^3+{\mathrm{37,0614.100}}^2+{1723}^2.100$

= 297945768,2.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay khác:

• Giải Toán 12 trang 20
• Giải Toán 12 trang 22
• Giải Toán 12 trang 26

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 12 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Toán 12 Bài tập cuối chương 4

• Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng

• Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

• Toán 12 Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

• Toán 12 Bài 17: Phương trình mặt cầu

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

• Giải sgk Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 12 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 12 Kết nối tri thức

---