Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
Bài viết Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm.
- Cách giải bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
- Ví dụ minh họa bài tập Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
- Bài tập vận dụng Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
- Bài tập tự luyện Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại 1 điểm, đi qua 1 điểm
A. Phương pháp giải
Cho đường tròn ( C) có tâm I( a; b); bán kính R và điểm M( x0; y0) :
+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C ) tại điểm M:
Do (d) là tiếp tuyến của đường tròn tại M nên d vuông góc IM
⇒ Đường thẳng ( d) : 
⇒ Phương trình đường thẳng d.
+ Lập phương trình tiếp tuyến (d) của ( C) đi qua M :
- Đường thẳng ( d) : 
⇒ (d): A(x - x0) + B( y - y0) = 0.
- Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d( I; d) = R
⇒ Một phương trình hai ẩn A; B. Giải phương trình ta được A = kB.
- Chọn A= ... ⇒ B=...⇒ Phương trình đường thẳng d.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho đường tròn (C) : (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm A( 4; 4) là
A. x - 3y + 8 = 0. B. x + 3y – 16 = 0. C. 2x - 3y + 5 = 0 . D. x + 3y - 16 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I( 3;1). Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm A; khi đó d và IA vuông góc với nhau.
⇒ IA→ = (1; 3) là vectơ pháp tuyến của d.
Suy ra phương trình d: 1( x - 4) + 3( y - 4 ) = 0
Hay x + 3y - 16 = 0.
Chọn D.
Ví dụ 2 : Cho đường tròn (x - 3)2 + (y + 1)2 = 5 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) song song với đường thẳng d : 2x + y + 7 = 0 là
A. 2x + y = 0; 2x + y - 10 = 0 B. 2x + y + 1 = 0 ; 2x + y - 1 = 0
C. 2x - y + 1 = 0; 2x + y - 10 = 0 D. 2x + y = 0; x + 2y - 10 = 0
Hướng dẫn:
Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: 2x + y + 7 = 0 nên
phương trình tiếp tuyến có dạng ∆: 2x + y + m = 0 với m ≠ 7 .
Đường tròn ( C) có tâm I( 3; -1) và bán kính R = √5
Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) khi :
d( I , ∆) = R ⇔ 
= √5 ⇔ |5 + m| = 5
⇔ 
Vậy ∆1 : 2x + y = 0 , ∆2 : 2x + y - 10 = 0
Chọn A.
Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): x2 + y2 - 4x - 4y + 4 = 0, biết tiếp tuyến đi qua điểm B( 4; 6) .
A. x - 4 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 B. x - 4 = 0 hoặc y - 6 = 0.
C. y - 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 36 = 0 D. x - 4 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0
Lời giải
+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 
= 2
+ Tiếp tuyến ∆: 
⇒ Phương trình ∆: a(x - 4) + b(y - 6) = 0 hay ax + by - 4a - 6b = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
⇔ 
= 2 ⇔|- 2a - 4b| = 2
⇔ |a + 2b| =
⇔ a2 + 4ab + 4b2 = a2 + b2
⇔ 4ab + 3b2 = 0 ⇔ 
+ Nếu b = 0; chọn a = 1 thay vào (*) ta được ∆: x - 4 = 0.
+ Nếu 4a = - 3b ta chọn a = 3 thì b = -4 thay vào ( *) ta được: 3x - 4y + 12 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x - 4 = 0 và 3x - 4y + 12 = 0 .
Chọn D.
Ví dụ 4. Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y + 2)2 = 25 tại điểm M(2; 1) là:
A. d: -y + 1 = 0 B. d: 4x + 3y + 14 = 0
C. d: 3x - 4y - 2 = 0 D. d: 4x + 3y - 11 = 0
Lời giải
+ Đường tròn ( C) có tâm I(-2; -2) và bán kính R= 5.
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn taị điểm M nên hai đường thẳng d và IM vuông góc với nhau.
+ Đường thẳng d: 
⇒Phương trình (d) : 4( x - 2) + 3( y - 1) = 0 hay 4x + 3y - 11 = 0
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): (x-1)2 + (y + 2)2 = 2. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(3; -4) .
A. d: x + y + 1 = 0 B. d: x - 2y - 11 = 0
C. d: x - y - 7 = 0 D. d: x - y + 7 = 0
Lời giải
+ Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -2) .
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tại điểm A(3; -4) nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IA.
+ Phương trình đường thẳng (d): 
⇒ phương trình (d) là: 2( x - 3) – 2( y + 4) = 0
⇔ (d) : 2x - 2y - 14 = 0 hay x - y - 7 = 0
Chọn C.
Ví dụ 6. Cho đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 1)2 = 25 và điểm M(9; -4) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( C) , biết ∆ đi qua M và không song song với các trục tọa độ. Khi đó khoảng cách từ điểm P(6; 5) đến ∆ bằng:
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
Lời giải
+ Đường tròn (C) có tâm I(-1; 1)và bán kính R= 5.
+ Tiếp tuyến ∆: 
⇒ Phương trình ∆: a(x - 9) + b(y + 4) = 0 hay ax + by – 9a + 4b = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
⇔ 
= 5 ⇔ |-10a + 5b| = 5
⇔ |-2a + b| =
⇔ 4a2 - 4ab + b2 = a2 + b2 ⇔ 3a2 - 4ab = 0
⇔ 
+ Nếu a = 0 chọn b = 1 thay vào (*) ta được: y + 4 = 0 ( loại) vì tiếp tuyến không song song với các trục tọa độ.
+ Nếu 3a = 4b, chọn a = 4 thì b = 3 ta được ∆: 4x + 3y - 24 = 0
⇒ Khoảng cách từ P(6;5) đến đường thẳng ∆ là:
d(P, ∆) = 
= 3
Chọn B.
Ví dụ 7. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn
(C): x2 + y2 - 2x + 4y - 11 = 0?
A. 0. B. 2. C. 1. D. 3.
Lời giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 
= 4.
Độ dài OI = 
= √5
⇒ Điểm O nằm trong đường tròn nên không có tiếp tuyến nào của đường tròn kẻ từ O.
Chọn A.
Ví dụ 8. Cho đường tròn (C): (x-3)2 + (y + 3)2 = 1. Qua điểm M(4; -3) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn ( C) ?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải
Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường tròn( C) ta được :
( 4 - 3)2 + (-3 + 3)2 = 1
⇒ Điểm M thuộc (C).
⇒ có đúng 1 tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ M.
Chọn B.
Ví dụ 9. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua điểm N(-2; 0) tiếp xúc với đường tròn
(C): (x - 2)2 + (y + 3)2 = 4?
A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số.
Lời giải
Đường tròn ( C) có tâm I(2; -3) và bán kính R = 2.
Độ dài IN = 
= 5 > R
⇒ Điểm N nằm ngoài đường tròn ( C) nên qua điểm N kẻ được hai tiếp tuyến đến đường tròn (C).
Chọn C.
Ví dụ 10. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 8, biết tiếp tuyến đi qua điểm A( 5; -2).
A. x - 5 = 0 . B. x + y - 3 = 0 hoặc x - y 7 = 0.
C. x- 5= 0 hoặc x + y - 3 = 0 . D. y + 2 = 0 hoặc x - y - 7 = 0 .
Lời giải
+ Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2√2
+ Tiếp tuyến ∆: 
⇒ Phương trình ∆: a( x - 5) + b(y + 2) = 0 hay ax + by - 5a + 2b = 0.
+ Do ∆ là tiếp tuyến của đường tròn ( C) nên d(I; ∆) = R
⇔ 
= 2√2 ⇔ |- 4a| = 2√2.
⇔ 16a2 = 8( a2 + b2 ) ⇔ 8a2 = 8b2
⇔ 
+ Nếu a = b; ta chọn a = 1 ⇒ b = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x + y - 3 = 0
+ Nếu a = - b; chọn a = 1 thì b = - 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆: x - y - 7 = 0.
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là x + y - 3 = 0 và x - y - 7 = 0
Chọn B.
Ví dụ 11: Cho đường tròn ( C) có tâm I(1; 3), bán kính R= √52.
Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d:
và tọa độ M nguyên?
A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0
C. 2x - 3y - 19 = 0 D. Đáp án khác
Lời giải
+ Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(3 + 2t; 1 - 4t).
+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R
⇔ IM2 = R2 ⇔ ( 2 + 2t)2 + ( 2 + 4t)2 = 52
⇔ 4t2 + 8t + 4 + 16t2 + 16t + 4 = 52
⇔ 20t2 + 24t – 44 = 0 ⇔ t = 1 hoặc t =
( loại) .
+ Với t = 1 thì tọa độ M(5; -3) .
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M (5; -3):
(∆) : 
⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x - 5) – 3(y + 3) = 0 hay 2x - 3y - 19 = 0
Chọn C.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): x2 + y2 - 3x-y= 0 tại điểm N(1;-1) là:
A. d: x + 3y - 2 = 0 B. d: x - 3y + 4 = 0
C. d: x - 3y - 4 = 0 D. d: x + 3y + 2 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
+ Đường tròn (C) có tâm I( 
; 
).
+ Do đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn ( C) tại điểm N nên đường thẳng d vuông góc với đường thẳng IN.
+ Phương trình đường thẳng (d) : 
⇒(d): 1(x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay ( d): x + 3y + 2 = 0
Câu 2: Cho đường tròn( C): x2 + y2 - 2x + 8y - 23 = 0 và điểm M( 8; -3) . Độ dài đoạn tiếp tuyến của ( C) xuất phát từ M là :
A. 10
B. 2√10
C. 
D. √10
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn ( C) có tâm I( 1; -4) bán kính R = √40 .
Độ dài IM = 
= √50 > R
⇒ Điểm M nằm ngoài đường tròn. Khi đó từ M sẽ kẻ được hai tiếp tuyến là MA và MB- trong đó A và B là hai tiếp điểm .
Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:
MA = MB = 
= √10
Vậy độ dài tiếp tuyến là : √10.
Câu 3: Cho đường tròn ( C ) : x2 + y2 - 3x - y = 0. Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại M(1 ; -1) là:
A. x + 3y - 1 = 0 B. 2x - 3y + 1 = 0 C. 2x - y + 4 = 0 D. x + 3y + 2 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn ( C) có tâm I(
;
).
Điểm M(1; -1) thuộc đường tròn ( C).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm M là đường thẳng đi qua M và nhận vec tơ
IM→ =
(-
; -
) = -
(1; 3) nên có phương trình:
1( x - 1) + 3( y + 1) = 0 hay x + 3y + 2 = 0
Câu 4: Cho đường tròn (x - 3)2 + (y - 1)2 = 10 . Phương trình tiếp tuyến của ( C) tại điểm A( 4; 4) là
A. x - 3y + 5 = 0 B. x + 3y - 4 = 0 C. x - 3y + 16 = 0 D. x + 3y - 16 = 0
Lời giải:
Đáp án: D
Đường tròn ( C) có tâm I(3; 1) và bán kính R = √10.
Tiếp tuyến của ( C) tại A là đường thẳng qua A( 4; 4) và nhận vecto IA→( 1; 3) là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến d.
Suy ra (d) : 1( x - 4) + 3( y - 4) = 0 hay x + 3y - 16 = 0
Câu 5: Cho đường tròn (x - 2)2 + (y - 2)2 = 9 . Phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A( 5; -1) là
A. x + y - 4 = 0 và x - y - 2 = 0 . B. x = 5 và y = -1.
C. 2x - y - 3 = 0 và 3x + 2y - 3 = 0. D. 3x - 2y + 1 = 0 và 2x + 3y + 5 = 0
Lời giải:
Đáp án: B
+ Đường tròn (C) có tâm I( 2; 2) và bán kính R = 3.
+ ∆ là tiếp tuyến cần tìm : đi qua A(5, -1) và nhận VTPT n→( A; B)
⇒ (∆ ) : A( x - 5) + B( y + 1) = 0 (*)
+ Do ∆ là tiếp tuyến của ( C) nên :
d( I ; ∆) = R ⇔ 
= 3
⇔ |-3A + 3B| = 3
⇔ 9A2 - 18AB + 9B2 = 9A2 + 9B2
⇔ 18AB = 0 ⇔ 
+ Với A =0 ; chọn B = 1 thay vào (*) ta được : y + 1 = 0
+ Với B = 0 ; chọn A = 1 thay vào ( *) ta được :x - 5 = 0
Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn là y + 1 = 0 và x - 5 = 0
Câu 6: Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x - 6y + 5 = 0 . Phương trình tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng d: x + 2y - 15 = 0 là
A. x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0. B. x - 2y = 0 và x - 2y + 10 = 0.
C. x + 2y - 12 = 0 và x + 2y + 22 = 0 D. x + 2y + 3 = 0 và x + 2y + 7 = 0
Lời giải:
Đáp án: A
+ Đường tròn ( C) có tâm I( -1;3) và bán kính R = 
= √5
+ Do tiếp tuyến cần tìm song song với đường thẳng d: x + 2y- 15= 0 nên tiếp tuyến ∆ có dạng : x + 2y + m= 0 ( m≠-15) .
+ ∆ là tiếp tuyến của ( C) khi và chỉ khi:
d(I ;∆) = R ⇔ 
= √5 ⇔ |m + 5| = 5
⇔ 
⇒ Có hai tiếp tuyến thỏa mãn là : x + 2y = 0 và x + 2y - 10 = 0
Câu 7: Đường tròn ( C) có tâm I ( -1; 3) và tiếp xúc với đường thẳng d: 3x - 4y + 5 = 0 tại điểm H có tọa độ là
A. ( - 
; - 
)
B. (
;
)
C. (
; -
)
D. ( -
;
)
Lời giải:
Đáp án: B
Do đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn ( C) tại điểm H nên IH vuông góc với đường thẳng d.
⇒ Đường thẳng IH: 
⇒ Phương trình IH: 4( x + 1) + 3( y - 3) = 0 hay 4x + 3y - 5 = 0.
Do đường thẳng d và đường thẳng IH cắt nhau taị điểm H nên tọa độ điểm H là nghiệm hệ phương trình:
Câu 8: Cho đường tròn (C) : x2 + y2 - 6x + 2y + 5 = 0 và đường thẳng
d: 2x + (m - 2)y – m - 7 = 0. Với giá trị nào của m thì d là tiếp tuyến của (C) ?
A. m = 3 B. m = 15 C. m = 13 D. m = 3 hoặc m = 13.
Lời giải:
Đáp án: D
+ đường tròn (C) có tâm I( 3 ;-1) và bán kính .
+ d là tiếp tuyến của (C) khi va chỉ khi:
d(I, d) = R ⇔ 
= √5 ⇔ |1 - 2m| = √5.
→ m2 - 16m + 39 = 0 ⇔ 
Câu 9: Cho đường tròn ( C) có tâm I(-1; 2), bán kính R = √29. Lập phương trình tiếp tuyến
của đường tròn tại điểm M biết điểm M thuộc đường thẳng d: 
và tọa độ M nguyên?
A. x + 2y + 3 = 0 B. 2x + 5y + 21 = 0
C. 3x + 5y - 8 = 0 D. Đáp án khác
Lời giải:
Đáp án: B
+ Do điểm M thuộc đường thẳng d nên tọa độ M(-2 + t; 3t).
+ Do điểm M thuộc đường tròn nên IM = R
⇔ IM2 = R2 ⇔ ( t- 1)2 + ( 3t - 2)2 = 29
⇔ t2 - 2t + 1 + 9t2 - 12t + 4 = 29
⇔ 10t2 – 14t – 24 = 0 ⇔ t = - 1 hoặc t = 
( loại) .
+ Với t = - 1 thì tọa độ M( - 3; - 3) .
⇒ Phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm M ( -3; -3):
(∆) : 
⇒ Phương trình tiếp tuyến : 2( x + 3) + 5( y + 3) = 0 hay 2x + 5y + 21 = 0 .
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến d của đường tròn (C): (x + 1)2 + (y + 3)2 = 64 tại điểm M(–10; 1).
Bài 2. Cho đường tròn ( C): (x + 2)2 + (y + 10)2 = 3. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C) tại điểm A(10; 6).
Bài 3. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 – 5x – 8y – 125 = 0.
Bài 4. Cho đường tròn (C): (x + 7)2 + (y + 4)2 = 3. Qua điểm M(–7; –8) có thể kẻ được bao nhiêu đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (C).
Bài 5. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của đường tròn ( C): (x – 9)2 + (y + 5)2 = 3, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(–6; 6).
Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác:
- Cách nhận dạng, xác định phương trình đường tròn: tìm tâm, bán kính
- Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính
- Đường tròn tiếp xúc với đường thẳng
- Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm (đường tròn ngoại tiếp tam giác)
- Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 10
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CD
- Giải Toán lớp 10 - CD
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CD
- Giải Vật lí lớp 10 - CD
- Giải Hóa học lớp 10 - CD
- Giải Sinh học lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CD
- Giải Địa lí lớp 10 - CD
- Giải Lịch sử lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - CD
- Giải Tin học lớp 10 - CD
