Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số (cực hay)
Bài viết Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số.
Cách xét tính đơn điệu (đồng biến, nghịch biến) của hàm số (cực hay)
1. Phương pháp giải.
C1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 < x2, đặt T = f(x1 )-f(x2 )
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
C2: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K. Lấy x1; x2 ∈ K;x1 ≠ x2, đặt
+ Hàm số đồng biến trên K ⇔ T > 0.
+ Hàm số nghịch biến trên K ⇔ T < 0.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng (1; + ∞)
a) y = 3/(x-1)
b) y = x + 1/x
Hướng dẫn:
a) Với mọi x1; x2 ∈ (1; + ∞); x1 ≠ x2 ta có:
Vì x1 > 1; x2 > 1 nên
Do đó hàm số y = 3/(x-1) nghịch biến trên khoảng (1; + ∞).
b) Với mọi x1; x2 ∈ (1; + ∞); x1 ≠ x2 ta có:
Vì x1 > 1; x2 > 1
nên hàm số y = x + 1/x đồng biến trên khoảng (1; + ∞).
Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = x2 - 4
a) Xét chiều biến thiên cuả hàm số trên (- ∞;0) và trên (0;+ ∞)
b) Lập bảng biến thiên của hàm số trên [-1;3] từ đó xác định giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên[-1;3].
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R.
a) ∀ x1; x2 ∈ R; x1 < x2 ⇒ x2 - x1 > 0
Ta có T = f(x2 ) - f(x1 )=(x22 - 4) - (x12 - 4) = (x2 - x1 )(x2 + x1 )
Nếu x1; x2 ∈ (- ∞;0) thì T < 0. Vậy hàm số y=f(x) nghịch biến trên (- ∞;0).
Nếu x1; x2 ∈ (0; + ∞) thì T > 0. Vậy hàm số y = f(x) đồng biến trên (0; + ∞).
b) Bảng biến thiên của hàm số y = f(x) = x2 - 4 trên [-1; 3]
Dựa vào bảng biến thiên ta có:
Giá trị lớn nhất của hàm số trên [-1; 3] là 5, đạt được khi x = 3.
Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [-1; 3] là – 4, đạt được khi x = 0.
Ví dụ 3: Xét sự biến thiên của hàm sốtrên tập xác định của nó.
Áp dụng tìm số nghiệm của các phương trình sau:
Hướng dẫn:
ĐKXĐ:
Suy ra TXĐ: D = [1; + ∞)
Với mọi x1; x2 ∈ [1; + ∞), x1 ≠ x2, ta có:
Nên hàm sốđồng biến trên khoảng [1; + ∞).
a) Vì hàm số đã cho đồng biến trên [1; + ∞) nên
Nếu x > 1 ⇒ f(x) > f(1) hay
Suy ra phương trìnhkhông có nghiệm x > 1.
Với x = 1 dễ thấy nó là nghiệm của phương trình đã cho
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.
b)
ĐKXĐ: x ≥ 1
Đặt x2 + 1 = t, t ≥ 1 ⇒ x2 = t - 1
Do x ≥ 1 nên x = √(t-1). Khi đó phương trình trở thành:
⇔ f(x)=f(t)
Nếu x > t ⇒ f(x) > f(t) hay
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x > t.
Nếu x < t ⇒ f(x)< f(t) hay
Suy ra phương trình đã cho không có nghiệm thỏa mãn x < t.
Vậy f(x) = f(t) ⇔ x = t hay x2 + 1 = x ⇔ x2 - x + 1 = 0 (vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Nhận xét:
Hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên toàn bộ tập xác định thì phương trình f(x)=0 có tối đa một nghiệm.
Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên D thì f(x) > f(y) ⇔ x > y (x < y) và f(x) = f(y) ⇔ x = y ∀ x,y ∈ D. Tính chất này được sử dụng nhiều trong các bài toán đại số như giải phương trình , bất phương trình , hệ phương trình và các bài toán cực trị.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số y = 2x4 + 1 trên khoảng (0;+∞).
Hướng dẫn giải
Với mọi x1;x2 ∈ (0;+∞) và x1 < x2 ta có:
f(x1) - f(x2) = 2x14 + 1 - (2x24 + 1)
= 2(x14 - x24)
= 2(x12 + x22)(x12 - x22)
= 2(x12 + x22)(x1 + x2)(x1 - x2) < 0
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (0;+∞).
Bài 2. Xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng (-1;+∞).
Hướng dẫn giải
Với mọi x1;x2 ∈ (-1;+∞) và x1 < x2 ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (-1;+∞).
Bài 3. Xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng (1;+∞).
Hướng dẫn giải
Ta thấy:
x2 - 2x + 2 = (x - 1)2 + 1 > 0 nên hàm số xác định với mọi x ∈ (1;+∞).
Với mọi x1;x2 ∈ và x1 < x2 ta có:
Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞).
Bài 4.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Hướng dẫn giải
Ta có
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng .
Bài 5. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
Hướng dẫn giải
Ta có .
Bảng biến thiên
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng .
Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm số y = x3 - 3x2 + 1 trên khoảng (2;+∞).
Bài 7. Xét sự biến thiên của hàm số y = x4 + 4x2 trên khoảng (-∞;0).
Bài 8. Xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng (-7;+∞).
Bài 9. Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số .
Bài 10. Tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số
Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
- (mới) Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 10-11 cho học sinh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Lớp 10 - Kết nối tri thức
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - KNTT
- Giải Toán lớp 10 - KNTT
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - KNTT
- Giải Vật lí lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - KNTT
- Giải Sinh học lớp 10 - KNTT
- Giải Địa lí lớp 10 - KNTT
- Giải Lịch sử lớp 10 - KNTT
- Giải Công nghệ lớp 10 - KNTT
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - KNTT
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - KNTT
- Giải Tin học lớp 10 - KNTT
- Lớp 10 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CTST
- Giải Toán lớp 10 - CTST
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CTST
- Giải Vật lí lớp 10 - CTST
- Giải Hóa học lớp 10 - CTST
- Giải Sinh học lớp 10 - CTST
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CTST
- Giải Địa lí lớp 10 - CTST
- Giải Lịch sử lớp 10 - CTST
- Giải Hoạt động trải nghiệm lớp 10 - CTST
- Lớp 10 - Cánh diều
- Soạn văn lớp 10 (hay nhất) - CD
- Giải Toán lớp 10 - CD
- Giải Tiếng Anh lớp 10 - CD
- Giải Vật lí lớp 10 - CD
- Giải Hóa học lớp 10 - CD
- Giải Sinh học lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục Kinh tế và Pháp luật lớp 10 - CD
- Giải Địa lí lớp 10 - CD
- Giải Lịch sử lớp 10 - CD
- Giải Giáo dục quốc phòng lớp 10 - CD
- Giải Tin học lớp 10 - CD