Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ý nghĩa hình học của đạo hàm.

Ý nghĩa hình học của đạo hàm là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là hệ số góc của tiếp tuyến M₀T của (C) tại điểm M₀(x₀; f(x₀)).

Tiếp tuyến M₀T có phương trình là: y = f’(x₀) (x – x₀) + f(x₀).

2. Ví dụ minh họa về ý nghĩa hình học của đạo hàm

Ví dụ 1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = 3x² tại điểm có hoành độ bằng 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: (3x²)' = 6x nên y’ (3) = 6.3 = 18. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = 3x² tại điểm có hoành độ hoành độ bằng 3 là 18.

Ví dụ 2. Cho hàm số y = –2x² có đồ thị là (C).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ bằng –2.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm N(–2; –8).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: (–2x²)' = –4x nên y’(–2) = (–4)(–2) = 8. Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = –2x² tại điểm có hoành độ hoành độ bằng –2 là 8.

b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm N(–2; –8) là y = 8(x + 2) – 8 hay y = 8x + 8.

Vậy phương trình tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là: y = 8x + 8.

Ví dụ 3. Cho parabol (P) có phương trình $y=\frac{1}{2}{x}^2$. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại giao điểm của (P) với đường thẳng $y=x-\frac{1}{2}$.

Hướng dẫn giải

Gọi A là giao điểm của của (P) với đường thẳng $y=x-\frac{1}{2}$. Khi đó, hoành độ của A là nghiệm của phương trình: $\frac{1}{2}{x}^2=x-\frac{1}{2}$ hay x² – 2x + 1 = 0. Do đó, x = 1.

Ta có: $\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=x$ nên y’(1) = 1.1 = 1.

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại giao điểm của (P) với đường thẳng $y=x-\frac{1}{2}$ bằng 1.

3. Bài tập về ý nghĩa hình học của đạo hàm

Bài 1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x³ tại:

a) Điểm có hoành độ hoành bằng 2.

b) Điểm có tung độ bằng 27.

Bài 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 2x² + x + 1. Biết rằng tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; 4).

Bài 3. Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = 2x³ – 4x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó:

a) Song song với đường thẳng y = 2x + 5.

b) Vuông góc với đường thẳng $y=-\frac{1}{96}x+3$>.

Bài 4. Cho hàm số y = ax³ + 2x² – 1 có đồ thị là (C). Tìm a, biết rằng hệ số góc tại điểm có hoành độ bằng 2 là 4.

Bài 5. Tìm tọa độ của điểm M trên đồ thị hàm số y = x² + 1, biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại M bằng 4.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Các bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

• Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số logarit

• Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

• Hàm số hợp là gì

• Đạo hàm cấp hai là gì

• Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

---