Đạo hàm hàm phân thức lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Đạo hàm hàm phân thức lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Đạo hàm hàm phân thức.

Đạo hàm hàm phân thức lớp 11 (chi tiết nhất)

1. Đạo hàm hàm phân thức

Giả sử các hàm số u = u(x), v = v(x) ≠ 0 có đạo hàm trên khoảng (a, b).

Khi đó, ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}v-u{v}^{\text{'}}}{v^2}$.

Chú ý: ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=\frac{-v}{v^2}$ (v = v(x) ≠ 0).

2. Ví dụ minh họa về đạo hàm hàm phân thức

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = $\frac{3}{x-2}$.

b) y = $\frac{x-1}{2x}$.

c) y = $\frac{2x^2-1}{3-x}$.

Hướng dẫn giải

a) y^' = $\frac{3^{\text{'}}(x-2)-3{(x-2)}^{\text{'}}}{{(x-2)}^2}=\frac{-3}{{(x-2)}^2}$.

Ví dụ 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x-5}{x-4}$. Tính f’(8).

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≠ 4.

Ta có: $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{{(2x-5)}^{\text{'}}(x-4)-(2x-5){(x-4)}^{\text{'}}}{{(x-4)}^2}=\frac{-3}{{(x-4)}^2}$.

Do đó, f’(8) = $\frac{-3}{{(8-4)}^2}=\frac{-3}{16}$. Vậy f’(8) = $\frac{-3}{16}$.

Ví dụ 3. Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{2x^2-1}{x-1}$. Tìm các giá trị của x để f’(x) = 2.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≠ 1.

Ta có:

Để f’(x) = 2 thì $\frac{2x^2-4x+1}{{(x-1)}^2}=2\iff$2x² – 4x + 1 = 2x² – 4x + 2 $\iff$1 = 2 (vô lí).

Vậy không có giá trị nào của x để f’(x) = 2.

3. Bài tập về đạo hàm hàm phân thức

Bài 1. Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y=\frac{-5}{2x-1}$.

b) $y=\frac{x^2-x-1}{2-x}$.

c) $y=\frac{2x^2-1}{x^2-3x}$.

Bài 2. Cho hàm số $y=\frac{x^2+4x-3}{x+2}$. Chứng tỏ rằng y’ > 0 với mọi x ≠ –2.

Bài 3. Cho hàm số $y=\frac{x^2-3x}{x-2}$. Tìm các giá trị của x để y’ = 2.

Bài 4. Cho hàm số $y=\frac{2x+m}{x-1}$. Tìm m để y’ > 0 với mọi x thuộc tập xác định.

Bài 5. Cho hàm số $y=\frac{{(2x-1)}^4}{{(x+2)}^2}$. Tính y’(2).

Xem thêm các dạng bài tập Toán sách mới hay, chi tiết khác:

• Bất đẳng thức Cô-si lớp 9

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki lớp 9

• Đường chéo hình chữ nhật lớp 8

• Tính chất của tứ diện đều lớp 11

• Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức lớp 8

---